Одночлен и его стандартный вид
теория по математике 📈 алгебраические выражения
Одночлен – это простейшее алгебраическое выражение, которое состоит из произведения чисел, переменных и их степеней. Никаких других действий одночлен не имеет. Числовой множитель у одночлена называется коэффициентом.
Пример №1. Рассмотрим примеры одночленов.
Стандартный вид одночлена
Чтобы определить коэффициент у одночлена, он должен быть представлен в стандартном виде.
Что такое одночлен стандартного вида?
Одночлен стандартного вида – это одночлен, у которого на первом месте стоит коэффициент, а далее – буквенные множители (переменные).
Такие одночлены приведены в примере №1. Рассмотрим, как привести одночлен к стандартному виду.
Здесь выполняем умножение чисел 3 и (-2), затем степеней х и у (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываем, а основание оставляем тем же); записываем на первом месте число (коэффициент одночлена), а затем уже степени. Получаем одночлен стандартного вида.
-12a 3 b 2 (-4b 7 )=48a 3 b 9
Данный ответ получен после умножения чисел и степеней с одинаковым основанием. Записан на первом месте коэффициент 48, а затем остальные множители.
Степень одночлена
Сумму показателей степени переменных называют степенью одночлена.
Рассмотрим, как найти степень одночлена.
– 113с 3 х 6
У переменных показатели степени равны 3 и 6, складываем их и получаем 9. Значит, степень одночлена равна 9. Пример №5.
18ху
У этого одночлена степень равна 2, так как у переменных х и у первая степень, складывая 1 и 1, получаем 2.
Степень одночлена
Что такое степень одночлена? Как ее найти?
Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных.
Если одночлен не содержит переменных (то есть является числом), то его степень считают равной нулю.
Таким образом, чтобы найти степень одночлена, надо определить показатель каждой из входящих в него переменных, и сложить их.
Показатель a равен 1, показатель b — 2, показатель c — 4. Степень одночлена равна сумме этих показателей: 1+2+4=7.
1+1+1=3. Следовательно, степень этого одночлена равна 3.
степень данного одночлена равна 1.
5+10+2=17. Значит, это — одночлен 17-й степени.
Одночлен не содержит переменных. По определению, степень такого одночлена равна нулю.
3 комментария
Спасибо за подробное описание, а то лишь «сумма показателей степеней переменных» сразу не очень понятно было
Спасибо большое! Очень помогает ваш сайт в изучении школьной алгебры.
Одночлены
Определения и примеры
Приведём ещё примеры одночленов:
Одночленом также является любое отдельное число, любая переменная или любая степень. Например, число 9 является одночленом, переменная x является одночленом, степень 5 2 является одночленом.
Приведение одночлена к стандартному виду
Рассмотрим следующий одночлен:
Этот одночлен выглядит не очень аккуратно. Чтобы сделать его проще, нужно привести его к так называемому стандартному виду.
Приведение одночлена к стандартному виду заключается в перемножении однотипных сомножителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему.
Ещё один нюанс заключается в том, что в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.
Итак, приведём одночлен 3a 2 5a 3 b 2 к стандартному виду. В этом одночлене содержатся числа 3 и 5. Перемножим их, получим число 15. Записываем его:
Мы привели одночлен 3a 2 5a 3 b 2 к стандартному виду. В результате получили одночлен 15a 5 b 2
Числовой сомножитель 15 называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.
Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице. Так, коэффициентом одночлена abc является 1, поскольку abc это произведение единицы и abc
Степенью одночлена называют сумму показателей всех переменных входящих в этот одночлен.
Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю. Например, степень одночлена 11 равна нулю.
Не следует путать степень одночлена и степень числа. Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей, тогда как степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен. В одночлене 11 нет переменных, поэтому его степень равна нулю.
Пример 1. Привести одночлен 5xx3ya 2 к стандартному виду
Перемножим числа 5 и 3, получим 15. Это будет коэффициент одночлена:
Пример 2. Привести одночлен 2m 3 n × 0,4mn к стандартному виду
Перемножим числа, переменные и степени по отдельности.
Числа, переменные и степени при перемножении разрешается заключать в скобки. Делается это для удобства. Так, в данном примере перемножение чисел 2 и 0,4 можно заключить в скобки. Также в скобки можно заключить перемножение m 3 × m и n × n
Но желательно выполнять все элементарные действия в уме. Так, решение можно записать значительно короче:
Но чтобы в уме приводить одночлен к стандартному виду, тема умножения целых чисел и умножения степеней должна быть изучена на хорошем уровне.
Сложение и вычитание одночленов
Одночлены можно складывать и вычитать. Чтобы это было возможно, они должны иметь одинаковую буквенную часть. Коэффициенты могут быть любыми. Сложение и вычитание одночленов это по сути приведение подобных слагаемых, которое мы рассматривали при изучении буквенных выражений.
Чтобы сложить (вычесть) одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.
Пример 1. Сложить одночлены 6a 2 b и 2a 2 b
Сложим коэффициенты 6 и 2, а буквенную часть 6a 2 b оставим без изменений
Пример 2. Вычесть из одночлена 5a 2 b 3 одночлен 2a 2 b 3
Можно заменить вычитание сложением, и сложить коэффициенты одночленов, оставив буквенную часть без изменения:
Либо сразу из коэффициента первого одночлена вычесть коэффициент второго одночлена, а буквенную часть оставить без изменения:
Умножение одночленов
Одночлены можно перемножать. Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые и буквенные части.
Пример 1. Перемножить одночлены 5x и 8y
Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. Для удобства перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:
Пример 2. Перемножить одночлены 5x 2 y 3 и 7x 3 y 2 c
Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. В процессе умножения будем применять правило перемножения степеней с одинаковыми основаниями. Перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:
Пример 3. Перемножить одночлены −5a 2 bc и 2a 2 b 4
Пример 4. Перемножить одночлены x 2 y 5 и (−6xy 2 )
Пример 5. Найти значение выражения 
Деление одночленов
Одночлен можно разделить на другой одночлен. Для этого нужно коэффициент первого одночлена разделить на коэффициент второго одночлена, а буквенную часть первого одночлена разделить на буквенную часть второго одночлена. При этом используется правило деления степеней.
Например, разделим одночлен 8a 2 b 2 на одночлен 4ab. Запишем это деление в виде дроби:
Первый одночлен 8a 2 b 2 будем называть делимым, а второй 4ab — делителем. А одночлен, который получится в результате, назовём частным.
Не всегда можно первый одночлен разделить на второй одночлен. Например, если в делителе окажется переменная, которой нет в делимом, то говорят, что деление невозможно.
Но если в делимом содержится переменная, которая не содержится в делителе, то деление будет возможным. В этом случае переменная, которая отсутствовала в делителе, будет перенесена в частное без изменений.
Но в некоторых дробях, если невозможно выполнить деление, бывает возможным выполнить сокращение. Делается это с целью упростить выражение.
В числителе и знаменателе мы пришли к делению одночленов, которое можно выполнить:
Процесс деления обычно выполняется в уме, записывая над числителем и знаменателем получившийся результат:
Пример 2. Разделить одночлен 12a 2 b 3 c 3 на одночлен 4a 2 bc
Пример 3. Разделить одночлен x 2 y 3 z на одночлен xy 2
Дополнительно упомянем, что деление одночлена на одночлен также невозможно, если одна из степеней, входящая в делимое, имеет показатель меньший, чем показатель той же степени из делителя.
и такое частное при перемножении с делителем x 2 будет давать в результате делимое 2x
Но нас пока интересуют только те частные, которые являются так называемыми целыми выражениями. Целые выражения это те выражения, которые не являются дробями, в знаменателе которых содержится буквенное выражение. А частное 
целым выражением не является. Это дробное выражение, в знаменателе которого содержится буквенное выражение.
Возведение одночлена в степень
Одночлен можно возвести в степень. Для этого используют правило возведения степени в степень.
Пример 1. Возвести одночлен xy во вторую степень.
Чтобы возвести одночлен xy во вторую степень, нужно возвести во вторую степень каждый сомножитель этого одночлена
Пример 2. Возвести одночлен −5a 3 b во вторую степень.
Пример 3. Возвести одночлен − a 2 bc 3 в пятую степень.
В данном примере коэффициентом одночлена является −1. Этот коэффициент тоже нужно возвести в пятую степень:
Пример 4. Представить одночлен 4x 2 в виде одночлена, возведённого в квадрат.
Пример 5. Представить одночлен 121a 6 в виде одночлена, возведённого в квадрат.
Таким образом, если произведение 11a 3 возвести во вторую степень, то получится 121a 6
(11a 3 ) 2 = 11 2 × (a 3 ) 2 = 121a 6
Разложение одночлена на множители
Поскольку одночлен является произведением чисел, переменных и степеней, то он может быть разложен на множители, из которых состоит.
Пример 1. Разложить одночлен 3a 3 b 2 на множители
Данный одночлен можно разложить на множители 3, a, a, a, b, b
Либо степень b 2 можно не раскладывать на множители b и b
В каком виде представлять одночлен зависит от решаемой задачи. Главное, чтобы разложение было тождественно равно исходному одночлену.
Пример 2. Разложить одночлен 10a 2 b 3 c 4 на множители.
Определение одночлена, сопутствующие понятия, примеры.
Одним из видов выражений курса алгебры являются одночлены. В этой статье мы разберемся, какие выражения называют одночленами, скажем про их стандартный вид и приведем примеры. А после этого подробно остановимся на сопутствующих понятиях – степени и коэффициенте одночлена.
Навигация по странице.
Что такое одночлен? Определение, примеры
Первое запланированное знакомство с одночленами происходит в 7 классе средней школы. Там дается следующее определение одночлена:
Одночлены – это числа, переменные, их степени с натуральным показателем, а также всевозможные составленные из них произведения.
До 7 класса в школе были изучены натуральные, целые и рациональные числа, они и фигурируют в приведенных выше примерах одночленов. Однако нужно заметить, что определение одночлена в указанной формулировке остается в силе после знакомства с действительными числами и комплексными числами. Так 
, 2·π·x 3 и 
— это тоже одночлены.
Стандартный вид одночлена
С одночленами удобно работать, когда они приведены к так называемому стандартному виду.
Любой одночлен путем тождественных преобразований может быть представлен в стандартном виде. Иными словами, можно любой одночлен привести к стандартному виду.
Степень одночлена
Для одночлена существует понятие его степени. Разберемся, что это такое.
Степень одночлена стандартного вида – это сумма показателей степеней всех переменных, входящих в его запись; если в записи одночлена нет переменных, и он отличен от нуля, то его степень считается равной нулю; число нуль считается одночленом, степень которого не определена.
Коэффициент одночлена
Одночлен в стандартном виде, имеющий в своей записи хотя бы одну переменную, представляет собой произведение с единственным числовым множителем – числовым коэффициентом. Этот коэффициент называют коэффициентом одночлена. Оформим приведенные рассуждения в виде определения.
Коэффициент одночлена – это числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде.
Как узнать степень одночлена
Ключевые слова конспекта: Одночлены, стандартный вид одночлена, коэффициент и степень одночлена, умножение одночленов,
Выражения 15а 2 b, 3ху • 2у, –3с 7 представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней. Такие выражения называют одночленами. Числа, переменные и их степени также считаются одночленами. Например, выражения –11, а, а 6 — одночлены.
Мы представили данный одночлен в виде произведения числового множителя, записанного на первом месте, и степеней различных переменных. Такой вид одночлена называют стандартным видом. Числа, переменные, их степени также считаются одночленами стандартного вида.
Коэффициент и степень одночлена
Любой одночлен можно преобразовать так, чтобы получился одночлен стандартного вида. Если одночлен записан в стандартном виде, то числовой множитель называют коэффициентом одночлена. Например, в одночлене –10а 2 b 4 коэффициент равен –10. Если коэффициент одночлена равен 1 или –1, то его обычно не пишут.
Степенью одночлена стандартного вида называют сумму показателей степеней входящих в него переменных. Если одночлен представляет собой число, отличное от нуля, то его степень считается равной нулю.
Например, степень одночлена 12х 2 у 3 равна 5, степень одночлена –6аb равна 2. Выражение 2,32 является одночленом нулевой степени.
Число нуль — это одночлен, степень которого не определена.
Умножение одночленов
При умножении одночленов снова получается одночлен, который обычно записывают в стандартном виде, используя для этого свойства умножения и правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.
Возведение одночлена в степень
Докажем это, воспользовавшись определением степени и свойствами умножения: 
Отсюда следует правило:
Аналогичное свойство выполняется для произвольных степеней с натуральными показателями.
Если а — произвольное число, m и n — любые натуральные числа, то
( а m ) n = а m • n
Из этого свойства следует правило:
Правила возведения в степень произведения и степени используются при возведении одночленов в степень.
Это конспект по математике на тему «Одночлены и действия над ними». Выберите дальнейшие действия:
