Иллюзии мозга. Картографические проекции
Искажения площадей в проекции Меркатора
На самом деле Африка по площади больше, чем США, Китай, Индия и почти вся Европа, вместе взятые. Но из общепринятых проекций географических карт складывается иллюзия, что это не так. Так называемая проекция Меркатора, которая используется для многих карт, сильнее всего искажает площади ближе к полюсам. Небольшая Гренландия (площадь меньше Конго) кажется гигантской территорией. Антарктида тоже. Площадь России значительно преувеличена относительно южных стран. Или взять Украину, площадь которой на самом деле равняется площади Мадагаскара.
Все карты мира врут нам уже много столетий. Более того, в разных странах — России, Европе, США, Китае, Австралии, Чили, Южной Африке — карты мира очень сильно отличаются.
Искажения на картографических картах — вполне естественное явление, потому что картографам нужно сделать развёртку эллипсоида Земли на плоскости. Это в принципе невозможно сделать без искажений. Вопрос только в то, что именно можно искажать, а что нельзя.
Искажения бывают четырёх видов:
Истинный размер Африки в сравнении с разными странами. Автор карты: Кай Краузе
Почему большинство людей не осознают истинный масштаб гигантской Африки или более скромные размеры России, Канады или Гренландии? Потому что по какой-то причине проекция Меркатора используется не только в морской навигации, но и во многих других географических картах. По этим картам учат в школах, такие карты показывают по телевизору. Отсюда и характерное когнитивное искажение у многих обывателей.
Главное, что нам совсем необязательно пользоваться в повседневной жизни проекцией Меркатора. Мы же не морские навигаторы и не планируем авиационных налётов на соседние страны, куда нужно лететь по прямой. Мы простые мирные люди. Зачем нам совершенное точное направление по прямой линии между географическими точками? Если пофантазировать, то в обычной жизни это может быть удобно только при планировании больших путешествий на автомобиле на несколько тысяч километров. В остальных случаях мало кто перемещается на собственном транспорте. В основном, люди пользуются самолётами и поездами, так что даже у путешественников не нужды прокладывать маршрут самостоятельно.
Почему же тогда проекция Меркатора используется в школьных картах, на телевидении и т.д.? Это не совсем понятно. Возможно, для современного обывателя всё-таки более важно понимать сравнительные размеры стран мира, а не определять прямые направления по маршрутам.
Как мы уже заметили, в проекции Меркатора реальные площади показаны только возле экватора, и все остальные площади на земном шаре очень сильно искажаются. Эти искажения — цена, которую мы платим за знание точных направлений при навигации.
Как же нам составить более точную и справедливую карту мира с наименьшими искажениями площадей? В 2009 году эту проблему попытались решить дизайнеры из компании AuthaGraph. Их работа заключается в применении геометрических идей моделирования к практическим задачам. Одна из этих задач — проектирование более наглядной карты мира. Тогда они и составили карту AuthaGraph World Map, которая наиболее справедливо отображает площади географических стран и территорий.
Здесь используется разновидность так называемой изометрической проекции, при которой в отображении трёхмерного объекта на плоскость коэффициент искажения (отношение длины спроецированного на плоскость отрезка, параллельного координатной оси, к действительной длине отрезка) по всем трём осям один и тот же.
Проекция составлена в несколько этапов. Сначала эллиптическая поверхность земного шара разделена на 96 равных треугольников. Они спроецированы на 96 регионов модифицированного тетраэдра. Затем тетраэдр «сплющен» до правильной формы и обрезан, чтобы его можно было развернуть в прямоугольную форму, то есть в стандартную прямоугольную плоскую карту привычной формы.
Этапы составления проекции AuthaGraph World Map
Конечно, можно было сразу спроецировать сферу на тетраэдр обычным оптическим способом, но при этом возникают сильные искажения, которые бросаются в глаза. Идея предварительного разбиения на 96 регионов была в том, чтобы минимизировать такие искажения и сохранить пропорции территорий друг относительно друга.
Но нет предела совершенству. На основе оригинальной карты AuthaGraph японский дизайнер Хадзимэ Нарукава (Hajime Narukawa) создал новый вариант, который великолепно смотрится и при этом так же сохраняет пропорции стран и континентов друг относительно друга, а также соотношение земной массы и Мирового океана.
Карта Хадзимэ Нарукавы на основе AuthaGraph World Map
Эту более справедливую и пропорциональную карту можно использовать и в школьных учебниках, и в средствах массовой информации, поскольку она более точно показывает на плоскости проекцию земного шара и даёт лучшее представление о том, как выглядит наша Земля. Её преимущество ещё и в том, что на ней все континенты показаны без разрыва карты, включая Антарктиду (ну и конечно Япония находится в центре, как на многих японских картах: это вполне нормально, на российских картах тоже вертикальная ось мира проходит через Москву). И ещё несколько таких карт сшиваются в единое пространство, так что можно наглядно представить взаимное расположение континентов. Здесь понятно, например, какая точка европейской России ближе всего к Аляске.
Все существующие географические карты — это искажения. Самую точную картину мира показывает только глобус. Но если мы вынуждены использовать плоские поверхности, то хотя бы постараемся минимизировать количество искажений.
ArcMap
Краткая информация
Перезаписывает информацию о системе координат (проекции карты и датума), хранящуюся с набором данных. Инструмент можно применять к наборам данных, которые имеют неизвестную или неправильно указанную систему координат.
Все наборы географических данных имеют систему координат, которая используется в ArcGIS для отображения, измерения и преобразования географических данных. Если система координат для набора данных неизвестна или некорректна, вы можете использовать этот инструмент для указания корректной системы координат. Вам необходимо знать корректную систему координат набора данных до использования этого инструмента.
Использование
Чаще всего этот инструмент применяется для присвоения известной системы координат набору данных с неизвестной системой координат (т. е. свойства набора данных системы координат имеет статус «Неизвестный»). В других случаях происходит присвоение корректной системы координат набору данных, для которого была задана некорректная система координат (например, координаты – в метрах UTM, но система координат определена как географическая).
Если набор данных с известной системой координат является входными данными для этого инструмента, инструмент выдаст предупреждение, но будет успешно выполнен.
Классы набора классов объектов базы геоданных будут в одной и той же координатной системе. Для набора классов объектов базы геоданных следует определить систему координат при его создании. Если он содержит классы пространственных объектов, его систему координат нельзя изменить.
Синтаксис
База данных или класс пространственных объектов, проекция которых должна быть задана.
Derived Output
Пример кода
DefineProjection, пример (окно Python)
Пример скрипта окна Python для использования функции DefineProjection в режиме прямого запуска.
DefineProjection, пример (автономный скрипт)
Следующий автономный скрипт использует функцию DefineProjection для записи информации системе координат для входного набора данных.
Картографическая проекция
Картографи́ческая прое́кция — математически определенный способ отображения поверхности эллипсоида на плоскости.
Суть проекций связана с тем, что фигуру Земли — эллипсоид, не развертываемый в плоскость, заменяют на другую фигуру, развёртываемую на плоскость. При этом с эллипсоида на другую фигуру переносят сетку параллелей и меридианов. Вид этой сетки бывает разный в зависимости от того, какой фигурой заменяется эллипсоид.
Содержание
Искажения
В любой проекции существуют искажения, они бывают четырёх видов:
На различных картах искажения могут быть различных размеров: на крупномасштабных они практически неощутимы, но на мелкомасштабных они бывают очень велики.
Искажения длин
Искажение длин — базовое искажение. Остальные искажения из него логически вытекают. Искажение длин означает непостоянство масштаба плоского изображения, что проявляется в изменении масштаба от точки к точке, и даже в одной и той же точке в зависимости от направления.
Это означает, что на карте присутствует 2 вида масштаба:
Для наглядного изображения частных масштабов вводят Эллипс искажения.
Искажения площадей
Искажения площадей логически вытекают из искажения длин. За характеристику искажения площадей принимают отклонение площади эллипса искажений от исходной площади на эллипсоиде.
Искажения углов
Искажения формы
Искажения формы — графическое изображение вытянутости эллипсоида.
Классификация проекций по характеру искажений
Равноугольные проекции
Равноугольные проекции — проекции без искажений углов. Весьма удобны для решения навигационных задач. Масштаб зависит только от положения точки и не зависит от направления. Угол на местности всегда равен углу на карте, линия, прямая на местности — прямая на карте. Главным примером данной проекции является цилиндрическая Проекция Меркатора (1569 г.), которая и в наши дни используется для морских навигационных карт.
Равновеликие (равноплощадные) проекции
В равновеликих проекциях отсутствуют искажения площадей, но при этом сильны искажения углов и форм, (материки в высоких широтах сплющиваются). В такой проекции изображаются экономические, почвенные и другие мелкомасштабные карты.
Произвольные проекции
В произвольных проекциях имеются искажения и углов, и площадей, но в значительно меньшей степени, чем в равновеликих и равноугольных проекциях, поэтому они наиболее употребляемые.
Частным случаем произвольных проекций являются равнопромежуточные проекции, в которых сохраняются расстояния по некоторым выбранным направлениям: например, прямая азимутальная проекция, в которой правильно изображаются расстояния от полюса.
Классификация проекций по виду параллелей и меридианов нормальной сетки
Цилиндрические проекции
В прямых цилиндрических проекциях параллели и меридианы изображаются двумя семействами параллельных прямых линий, перпендикулярных друг другу. Таким образом задается прямоугольная сетка цилиндрических проекций
Промежутки между параллелями пропорциональны разностям долгот. Промежутки между меридианами определяются принятым характером изображения или способом проектирования точек земной поверхности на боковую поверхность цилиндра. Из определения проекций следует, что их сетка меридианов и параллелей ортогональна. Цилиндрические проекции можно рассматривать как частный случай конических, когда вершина конуса в бесконечности.
По свойствам изображения проекции могут быть равноугольными, равновеликими и произвольными. Применяются прямые, косые и поперечные цилиндрические проекции в зависимости от расположения изображаемой области. В косых и поперечных проекциях меридианы и параллели изображаются различными кривыми, но средний меридиан проекции, на котором располагается полюс косой системы, всегда прямой.
Существуют разные способы образования цилиндрических проекций. Наглядным представляется проектирование земной поверхности на боковую поверхность цилиндра, которая затем развертывается на плоскости. Цилиндр может быть касательным к земному шару или секущим его. В первом случае длины сохраняются по экватору, во втором — по двум стандартным параллелям, симметричным относительно экватора.
Цилиндрические проекции применяются при составлении карт мелких и крупных масштабов — от общегеографических до специальных. Так, например, аэронавигационные маршрутные полетные карты чаще всего составляются в косых и поперечных цилиндрических равноугольных проекциях (на шаре).
В прямых цилиндрических проекциях одинаково изображаются одни и те же участки земной поверхности вдоль линии разреза — по восточной и западной рамкам карты (дублируемые участки карты) и обеспечивается удобство чтения по широтным поясам (например, на картах растительности, осадков) или по меридиональным зонам (например, на картах часовых поясов).
Косые цилиндрические проекции при широте полюса косой системы, близкой к полярным широтам, имеют географическую сетку, дающую представление о сферичности земного шара. С уменьшением широты полюса кривизна параллелей увеличивается, а их протяжение уменьшается, поэтому уменьшаются и искажения (эффект сферичности). В прямых проекциях полюс показывается прямой линией, по длине, равной экватору, но в некоторых из них (проекции Меркатора, Уэтча) полюс изобразить невозможно. Полюс представляется точкой в косых и поперечных проекциях. При ширине полосы до 4,5° можно использовать касательный цилиндр, при увеличении ширины полосы следует применять секущий цилиндр, то есть вводить редукционный коэффициент
Конические проекции
По характеру искажений конические проекции могут быть различными. Наибольшее распространение получили равноугольные и равнопромежуточные проекции. Образование конических проекций можно представить как проектирование земной поверхности на боковую поверхность конуса, определенным образом ориентированного относительно земного шара (эллипсоида).
В прямых конических проекциях оси земного шара и конуса совпадают. При этом конус берется или касательный, или секущий.
После проектирования боковая поверхность конуса разрезается по одной из образующих и развертывается в плоскость. При проектировании по методу линейной перспективы получаются перспективные конические проекции, обладающие только промежуточными свойствами по характеру искажений.
В зависимости от размеров изображаемой территории в конических проекциях принимаются одна или две параллели, вдоль которых сохраняются длины без искажений. Одна параллель (касательная) принимается при небольшом протяжении по широте; две параллели (секущие) — при большом протяжении для уменьшения уклонений масштабов от единицы. В литературе их называют стандартными параллелями.
Азимутальные проекции
В азимутальных проекциях параллели изображаются концентрическими окружностями, а меридианы — пучком прямых, исходящих из центра
Углы между меридианами проекции равны соответствующим разностям долгот. Промежутки между параллелями определяются принятым характером изображения (равноугольным или другим) или способом проектирования точек земной поверхности на картинную плоскость. Нормальная сетка азимутальных проекций ортогональна. Их можно рассматривать как частный случай конических проекций.
Применяются прямые, косые и поперечные азимутальные проекции, что определяется широтой центральной точки проекции, выбор которой зависит от расположения территории. Меридианы и параллели в косых и поперечных проекциях изображаются кривыми линиями, за исключением среднего меридиана, на котором находится центральная точка проекции. В поперечных проекциях прямой изображается также экватор: он является второй осью симметрии.
В зависимости от искажений, азимутальные проекции подразделяются на равноугольные, равновеликие и с промежуточными свойствами. В проекции масштаб длин может сохраняться в точке или вдоль одной из параллелей (вдоль альмукантарата). В первом случае предполагается касательная картинная плоскость, во втором — секущая. В прямых проекциях формулы даются для поверхности эллипсоида или шара (в зависимости от масштаба карт), в косых и поперечных — только для поверхности шара.
Азимутальную равновеликую проекцию называют также стереографической. Она получается проведением лучей из некоторой фиксированной точки поверхности Земли на плоскость, касательную к поверхности Земли в противолежащей точке.
Особый вид азимутальной проекции — гномоническая. Она получается проведением лучей из центра Земли к некоторой касательной к поверхности Земли плоскости. Гномоническая проекция не сохраняет ни площадей, ни углов, но зато на ней кратчайший путь между любыми двумя точками (то есть дуга большого круга) всегда изображается прямой линией; соответственно меридианы и экватор на ней изображаются прямыми линиями.
Псевдоконические проекции
В псевдоконических проекциях параллели изображаются дугами концентрических окружностей, один из меридианов, называемый средним — прямой линией, а остальные — кривыми, симметричными относительно среднего.
Примером псевдоконической проекции может служит равновеликая псевдоконическая проекция Бонна.
Псевдоцилиндрические проекции
В псевдоцилиндрических проекциях все параллели изображаются параллельными прямыми, средний меридиан — прямой линией, перпендикулярной параллелям, а остальные меридианы — кривыми. Причём средний меридиан является осью симметрии проекции.
Поликонические проекции
В поликонических проекциях экватор изображается прямой, а остальные параллели изображаются дугами эксцентрических окружностей. Меридианы изображаются кривыми, симметричными относительно центрального прямого меридиана, перпендикулярного экватору.
Кроме вышеперечисленных встречаются и другие проекции, не относящиеся к указанным видам.
Картографическая проекция
Несмотря на буквальное значение названия, проекция не ограничивается перспективными проекциями, например, возникающими в результате отбрасывания тени на экран или прямолинейного изображения, созданного камерой-обскурой на плоской пленочной пластине. Скорее, любая математическая функция, которая четко и плавно преобразует координаты с изогнутой поверхности в плоскость, является проекцией. Некоторые прогнозы в практическом использовании являются перспективными. [ необходима цитата ]
Модель земного шара не искажает взаимосвязи поверхностей, как это делают карты, но карты могут быть более полезными во многих ситуациях: они более компактны и их легче хранить; они легко вмещают огромный диапазон масштабов; они легко просматриваются на компьютерных дисплеях; их можно измерить, чтобы найти свойства отображаемой области; они могут одновременно отображать большие участки поверхности Земли; и их дешевле производить и транспортировать. Эти полезные свойства карт мотивируют разработку картографических проекций.
Многие свойства могут быть измерены на поверхности Земли независимо от ее географии:
Искажение
Другие показатели искажения
Было описано много других способов характеристики искажения в проекциях. [6] [7] индикатрисы Like Тисса, то индикатриса Голдберг-Готт основана на инфинитезималях, и изображает сгибание и перекос (изгиб и однобокость) искажение. [8]
Проблема описания искажения глобально по областям, а не только по одной точке, заключается в том, что это обязательно включает выбор приоритетов для достижения компромисса. В некоторых схемах искажение расстояния используется в качестве заместителя для комбинации угловой деформации и площадной инфляции; такие методы произвольно выбирают, какие пути измерять и как их взвешивать, чтобы получить единый результат. Многие были описаны. [8] [13] [14] [15] [16]
Создание картографической проекции состоит из двух этапов:
Выбор проекционной поверхности
Аспект проекции
После выбора между проецированием на цилиндр, конус или плоскость необходимо указать аспект формы. Аспект описывает, как развивающаяся поверхность размещается относительно земного шара: она может быть нормальной (так, чтобы ось симметрии поверхности совпадала с осью Земли), поперечной (под прямым углом к оси Земли) или наклонной (любой угол между ними). ).
Известные линии
Разворачивающаяся поверхность также может быть касательной или секущей к сфере или эллипсоиду. Касательная означает, что поверхность касается земного шара, но не разрезает его; Секущий означает, что поверхность действительно рассекает земной шар. Перемещение развертывающейся поверхности от контакта с земным шаром никогда не сохраняет и не оптимизирует метрические свойства, поэтому здесь эта возможность не обсуждается.
Шкала
Некоторые возможные свойства:
Выбираем модель по форме тела
Три складывающиеся поверхности (плоскость, цилиндр, конус) представляют собой полезные модели для понимания, описания и разработки картографических проекций. Однако эти модели имеют два основных ограничения. Во-первых, большинство используемых прогнозов мира не попадают ни в одну из этих категорий. Во-вторых, даже большинство проекций, которые попадают в эти категории, невозможно естественным образом достичь с помощью физических проекций. Как отмечает LP Lee,
В приведенных выше определениях не упоминаются цилиндры, конусы или плоскости. Выступы называются цилиндрическими или коническими, потому что их можно рассматривать как развернутые на цилиндре или конусе, в зависимости от обстоятельств, но также лучше отказаться от изображения цилиндров и конусов, поскольку они вызывают много недоразумений. В особенности это касается конических выступов с двумя стандартными параллелями: их можно рассматривать как развернутые на конусах, но это конусы, которые не имеют простого отношения к сфере. На самом деле цилиндры и конусы предоставляют нам удобные описательные термины, но не более того. [25]
(Если перед проецированием повернуть земной шар, параллели и меридианы не обязательно будут прямыми линиями. Вращения обычно игнорируются в целях классификации.)
Цилиндрический
Сопоставление меридианов с вертикальными линиями можно визуализировать, представив цилиндр, ось которого совпадает с осью вращения Земли. Этот цилиндр наматывается на Землю, проецируется на нее, а затем раскручивается.
По геометрии конструкции цилиндрические выступы простираются на восток-запад. Количество растянуть то же самое в любой выбранной широте на все цилиндрические выступы, и задается секущими от широты как кратное шкалы экватора. Различные цилиндрические выступы отличаются друг от друга только протяженностью с севера на юг (где широта задается как φ):
Нормальные цилиндрические проекции отображают всю Землю как конечный прямоугольник, за исключением первых двух случаев, когда прямоугольник растягивается бесконечно в высоту, сохраняя при этом постоянную ширину.
Псевдоцилиндрический
Псевдоцилиндрические проекции представляют центральный меридиан в виде отрезка прямой. Другие меридианы длиннее центрального меридиана и изгибаются наружу, в сторону от центрального меридиана. Псевдоцилиндрические проекции отображают параллели в виде прямых линий. Вдоль параллелей каждая точка на поверхности нанесена на карту на расстоянии от центрального меридиана, которое пропорционально ее разнице по долготе от центрального меридиана. Следовательно, меридианы равномерно распределены по заданной параллели. На псевдоцилиндрической карте любая точка, находящаяся дальше от экватора, чем какая-либо другая точка, имеет более высокую широту, чем другая точка, с сохранением отношений север-юг. Эта черта полезна при иллюстрации явлений, зависящих от широты, например климата. Примеры псевдоцилиндрических проекций включают:
Гибридный
HEALPix проекция сочетает в себе равной площади цилиндрической проекции в экваториальных областях с проекцией Collignon в полярных областях.
Коническая
Термин «коническая проекция» используется для обозначения любой проекции, в которой меридианы отображаются на равноотстоящие линии, расходящиеся от вершины, а круги широты (параллели) сопоставляются с дугами окружностей с центром на вершине. [27]
При создании конической карты создатель карты произвольно выбирает две стандартные параллели. Эти стандартные параллели могут быть визуализированы как секущие линии, где конус пересекает земной шар, или, если составитель карты выбирает ту же параллель дважды, как касательную линию, где конус касается земного шара. Результирующая коническая карта имеет низкие искажения по масштабу, форме и площади вблизи этих стандартных параллелей. Расстояния по параллелям к северу от обеих стандартных параллелей или к югу от обеих стандартных параллелей растянуты; расстояния по параллелям между стандартными параллелями сжаты. Когда используется одна стандартная параллель, расстояния вдоль всех других параллелей растягиваются.
Обычно используются следующие конические выступы:
Псевдоконический
Азимутальный (проекции на плоскость)
Отображение радиальных линий можно визуализировать, представив плоскость, касающуюся Земли, с центральной точкой в качестве точки касания.
Некоторые азимутальные проекции являются истинными перспективными проекциями ; то есть они могут быть построены механически, проецируя поверхность Земли путем продолжения линий из точки перспективы (вдоль бесконечной линии, проходящей через точку касания и антипод точки касания ) на плоскость:
Другие азимутальные проекции не являются истинными перспективными проекциями:
