Как упростить выражение с векторами

Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Сложение двух векторов

Геометрически сложение векторов выглядит так:

— для неколлинеарных векторов:

— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Умножение вектора на число

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Источник

Операции над векторами: теория и примеры решений

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

На этом уроке освоим самые простые операции над векторами, достаточные для вхождения в изучение векторной алгебры. Предварительно желательно ознакомиться с материалом о том, что такое вообще векторы.

А теперь скажите: результатом какой операции над векторами «Предприимчивость» и «Инновационные способности» является вектор «Результат»? Если не можете сказать сразу, не унывайте. По мере изучения этого урока Вы сможете ответить на этот вопрос.

Линейные операции над геометрическими векторами

Умножение вектора на число

Произведением вектора на число называется вектор, получающийся из вектора растяжением (при ) или сжатием (при ) в раз, причём направление вектора сохраняется, если , и меняется на противоположное, если . (Рис. 2)

Из определения следует, что векторы и = всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными. (Можно говорить также, что эти векторы параллельны, однако в векторной алгебре принято говорить «коллинеарны».) Справедливо и обратное утверждение: если векторы и коллинеарны, то они связаны отношением

. (1)

Следовательно, равенство (1) выражает условие коллинеарности двух векторов.

Сложение и вычитание векторов

В векторной алгебре нет необходимости рассматривать отдельно операцию вычитания: вычесть из вектора вектор означает прибавить к вектору противоположный вектор , т.е.

Пример 1. Упростить выражение:

то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности, также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед вычислением произведений векторов.

Пример 2. Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а). Выразить через и векторы , , и , являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Есть все основания полагать, что теперь Вы правильно ответили на вопрос о векторах «Предприимчивость» и «Инновационные способности» в начале этого урока. Правильный ответ: над этими векторами производится операция сложения.

Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 3. Даны векторы и . Построить на чертеже векторы
1) ,
2) ,
3) ,
4) .

Пример 4. Даны векторы и . Построить на чертеже векторы
1) ,
2) ,
3) ,
4) .

Как найти длину суммы векторов?

Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача вроде следующей:

Даны длины векторов и длина суммы этих векторов . Найти длину разности этих векторов .

А где произведения векторов?

Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки «Скалярное произведение векторов» и «Векторное и смешанное произведения векторов».

Проекция вектора на ось

Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую (плоскость).

Пусть — произвольный вектор (Рис. 5), а и — проекции его начала (точки A) и конца (точки B) на ось l. (Для построения проекции точки A) на прямую проводим через точку A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определит требуемую проекцию.

Проекцией вектора на ось l называется число

равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если направление составляюшей совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если эти направления противоположны.

Основные свойства проекций вектора на ось:

1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

2. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.

3. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.

4. Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Решение. Спроектируем векторы на ось l как определено в теоретической справке выше. Из рис.5а очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов. Вычисляем эти проекции:

Находим окончательную проекцию суммы векторов:

Операции над векторами, заданными в координатной форме

Перед решением задач этого параграфа желательно ознакомиться с материалом о координатах вектора.

Пусть даны два вектора и , заданные своими проекциями:

Укажем действия над этими векторами.

(при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются).

(при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются).

3.Умножение вектора на число:

(при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число).

Пример 6. Даны два вектора, заданные координатами:

Найти заданный координатами вектор, являющийся суммой этих векторов: .

Пример 7. Даны четыре вектора:

, , , .

Найти координаты векторов и .

Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. На плоскости даны векторы и . Найти координаты векторов , и .

Пример 9. Точка конца вектора — точка . Найти точку начала этого вектора.

n-мерные векторы и операции над ними

n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде

где — i – й элемент (или i – я координата) вектора x.

Возможна и другая запись вектора – в виде столбца координат:

—

Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого равны нулю:

Введём операции над n-мерными векторами.

на действительное число называется вектор

(при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число).

можно получить противоположный вектор

(при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются).

Если в плане продаж сети торговых предприятий продажи товаров определить как положительные уровни товаров, а затраты на продажи – как отрицательные, то получим вектор затрат-продаж

—

Суммарный вектор затрат-продаж y определяется суммированием векторов затрат-продаж всех m предприятий сети:

Сумма противоположных векторов даёт нулевой вектор:

При вычитании двух векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно вычитаются:

Операции над n-мерными векторами удовлетворяют следующим свойствам.

Свойство 2.

Источник

Векторы: основные понятия. Координаты вектора. Длина вектора

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие вектора

Не векторы	Векторы
Масса	Сила тяжести
Длина	Путь
Время	Ускорение
Плотность	Давление
Температура	Скорость
Объем
Площадь
Модуль вектора

Не векторы (скаляры) не имеют направления, а векторы имеют направление.

А чтобы приступить к различным операциям с векторами, нам нужно познакомиться с ещё одним определением вектора.

Пусть дан вектор. При этом x = 3 (правая рука указывает направо), y = 1 (левая рука указывает вперёд), z = 5 (под точкой стоит лестница, ведущая вверх). По этим данным вы найдёте точку, проходя 3 метра в направлении, указываемом правой рукой, затем 1 метр в направлении, указываемом левой рукой, а далее Вас ждёт лестница и, поднимаясь на 5 метров, Вы, наконец, окажетесь в конечной точке.

Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на неё сила.

Геометрический вектор представлен в двумерном и трёхмерном пространстве в виде направленного отрезка. Это отрезок, у которого различают начало и конец.

Длиной (или модулем) геометрического вектора называется длина порождающего его отрезка

Два вектора называются равными, если они могут быть совмещены (при совпадении направлений) путём параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины.

Координаты вектора в прямоугольной декартовой системой координат в пространстве

В упорядоченной системе координатных осей 0xyz ось Ox называется осью абсцисс, ось 0y – осью ординат, и ось 0z – осью аппликат.

С произвольной точкой М пространства свяжем вектор

называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:

Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором(или ортом) оси. Обозначим через

Соответственно орты координатных осей Ox, Oy, Oz

Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей:

(2)

Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям являются координаты вектора.

После выбора в пространстве определённой системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор может быть записан в форме

(3)

Представления вектора в виде (2) и (3) тождественны.

Условие коллинеарности векторов в координатах

Векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением

Пусть даны векторы . Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением

то есть, координаты векторов пропорциональны.

Пример 1. Даны векторы . Коллинеарны ли эти векторы?

Решение. Выясним соотношение координат данных векторов:

Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, или, что то же самое, параллельны.

Длина вектора и направляющие косинусы

Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора

равна длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах

и выражается равенством

(4)

Вектор полностью определяется заданием двух точек (начала и конца), поэтому координаты вектора можно выразить через координаты этих точек.

Пусть в заданной системе координат начало вектора находится в точке

следует, что

или в координатной форме

(5)

Следовательно, координаты вектора равны разностям одноимённых координат конца и начала вектора. Формула (4) в этом случае примет вид

(6)

Направление вектора определяют направляющие косинусы. Это косинусы углов, которые вектор образует с осями Ox, Oy и Oz. Обозначим эти углы соответственно α, β и γ. Тогда косинусы этих углов можно найти по формулам