Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования
Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.
В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.
Формулы сокращенного умножения. Таблица
Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.
Формулы сокращенного умножения
Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.
Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.
Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.
Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.
При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.
Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.
Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.
Как читать эту формулу? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Для четных показателей 2m:
Для нечетных показателей 2m+1:
Как читать формулы сокращенного умножения?
Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.
Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.
квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.
С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
Доказательство ФСУ
Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.
Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.
Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.
Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.
Примеры применения ФСУ
Применим формулу суммы квадратов и получим:
Сокращаем и получаем:
Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.
Формулы сокращенного умножения с примерами
Формулами сокращенного умножения (ФСУ) называют несколько наиболее часто встречающихся в практике случаев умножения многочленов.
Квадрат суммы
А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:
Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.
Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.
На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:
Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы.
…и приведем подобные слагаемые.
Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.
Пример. Вычислите значение выражения \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) без калькулятора.
Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
Вот теперь вычислять гораздо приятнее!
Квадрат разности
Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для \((a-b)^2\):
В более краткой записи имеем:
Квадрат разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Применяется она также, как и предыдущая.
Пример. Упростите выражение \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) и найдите его значение при \(a=\frac<17><8>\).
Теперь приведем подобные слагаемые.
Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.
Разность квадратов
Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:
Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус!
Попробуем воспользоваться формулой.
Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.
Воспользуемся формулами степеней: \((a^n )^m=a^
Ну, а теперь пользуемся формулой \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), где \(a=5x^2\) и \(b=m^5 t^3\).
Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.
На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем).
Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).
Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке:
\(4xy\) запишем как \(2·x·2y\),
а \(4y^2\) как \((2y)^2\).
Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой \(a=x\), \(b=2y\). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как \(3\) в квадрате.
Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.
И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.
Сокращенное умножение: правила, формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Формулы сокращенного умножения
Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.
Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.
Как читать формулы сокращенного умножения
Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:
Обучение на курсах по математике — дорога к хорошим оценкам в школе и высокому баллу на экзамене.
Доказательство формул сокращенного умножения
Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.
Бином Ньютона
Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:
Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:
ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.
Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых
Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.
Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Формула разности n-ых степеней двух слагаемых
a n − b n = (a − b) * (a n-1 + a n-2 * b + a n-3 * b 2 + … + a * b n-2 + b n-1 ).
Для четных показателей можно записать так:
a 2*m − b 2*m = (a 2 − b 2 ) *(a 2*m−2 + a 2*m−4 * b 2 + a 2*m−6 * b 4 + … + b 2*m−2 ).
Для нечетных показателей:
a 2*m+1 − b 2*·m+1 = (a − b) * (a 2*m + a 2*m−1 * b + a 2*m−2 * b 2 + … + b 2*m ).
Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.
Решение задач
Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.
Задание 1
Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10) 2 = 55 2 + 2 * 55 * 10 + 10 2 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.
Задание 2
Что сделать: упростить выражение 64 * с 3 – 8.
Как решаем: применим разность кубов: 64 * с 3 – 8 = (4 * с) 3 – 2 3 = (4 * с – 2)((4 * с) 2 + 4 * с * 2 + 2 2 ) = (4 * с – 2)(16 * с 2 + 8 * с + 4).
Задание 3
Как решаем:
Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂
Формулы сокращённого умножения
Продолжаем изучать многочлены. В данном уроке мы научимся перемножать многочлены с помощью формул сокращённого умножения.
Квадрат суммы двух выражений
Выражение (2x + 3y) 2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (2x + 3y)
Получили умножение многочлена на многочлен. Выполним его:
То есть выражение (2x + 3y) 2 равно 4x 2 + 12xy + 9y 2
Решим аналогичный пример, который попроще:
Выражение (a + b) 2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (a + b)
Выполним это умножение:
То есть выражение (a + b) 2 равно a 2 + 2ab + b 2
Тождество (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 называют формулой квадрата суммы двух выражений. Эту формулу можно прочитать так:
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Первый способ:
Второй способ:
(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25
Пример 2. Преобразовать выражение (5a + 3) 2 в многочлен.
Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:
(5a + 3) 2 = (5a) 2 + 2 × 5a × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9
Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата суммы. У нас должен получиться тот же результат:
Формула квадрата суммы двух выражений имеет геометрический смысл. Мы помним, что для вычисления площади квадрата нужно возвести во вторую степень его сторону.
Рассмотрим следующий рисунок:
Получился новый квадрат, который больше предыдущего. Чтобы хорошо увидеть его, достроим отсутствующие стороны:
Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно по отдельности вычислить квадраты и прямоугольники, входящие в него, затем сложить полученные результаты.
В результате получается следующая сумма площадей:
Квадрат разности двух выражений
Формула квадрата разности двух выражений выглядит следующим образом:
Эту формулу можно прочитать так:
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Формула квадрата разности двух выражений выводится таким же образом, как и формула квадрата суммы двух выражений. Выражение (a − b) 2 представляет собой произведение двух многочленов, каждый из которых равен (a − b)
Если выполнить это умножение, то получится многочлен a 2 − 2ab + b 2
Пример 1. Преобразовать выражение (7x − 5) 2 в многочлен.
Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:
(7x − 5) 2 = (7x) 2 − 2 × 7x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25
Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата разности. У нас должен получиться тот же результат:
Рассмотрим следующий рисунок:
Тогда можно написать следующее выражение: старая площадь a 2 минус площадь ab минус площадь (a − b)b
Раскроем скобки в выражении (a − b)b
Приведем подобные слагаемые:
Формулы квадрата суммы и квадрата разности в общем называют формулами сокращённого умножения. Эти формулы позволяют значительно упростить и ускорить процесс перемножения многочленов.
Ранее мы говорили, что рассматривая член многочлена по отдельности, его нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним располагается.
Но применяя формулы сокращённого умножения, знак исходного многочлена не следует рассматривать в качестве знака самого этого члена.
и в таком случае нужно применять не формулу квадрата разности, а формулу квадрата суммы:
Куб суммы и куб разности
Формулы куба суммы двух выражений и куба разности двух выражений выглядят следующим образом:
Формулу куба суммы двух выражений можно прочитать так:
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
А формулу куба разности двух выражений можно прочитать так:
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
При решении задач желательно знать эти формулы наизусть. Если не запомнили — не беда! Их можно выводить самостоятельно. Мы это уже умеем.
Выведем формулу куба суммы самостоятельно:
Выражение (a + b) 3 представляет собой произведение из трёх многочленов, каждый из которых равен (a + b)
Но выражение (a + b) 3 также может быть записано как (a + b)(a + b) 2
А это есть умножение многочлена на многочлен. Выполним его:
Аналогично можно вывести формулу куба разности двух выражений:
Пример 1. Преобразуйте выражение (x + 1) 3 в многочлен.
Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:
(x + 1) 3 = x 3 + 3 × x 2 × 1 + 3 × x × 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Попробуем решить данный пример, не используя формулу куба суммы двух выражений. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:
Пример 2. Преобразовать выражение (6a 2 + 3b 3 ) 3 в многочлен.
Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:
(6a 2 + 3b 3 ) 3 = (6a 2 ) 3 + 3 × (6a 2 ) 2 × 3b 3 + 3 × 6a 2 × (3b 3 ) 2 + (3b 3 ) 3 = 216a 6 + 3 × 36a 4 × 3b 3 + 3 × 6a 2 × 9b 6 + 27b 9
Пример 3. Преобразовать выражение (n 2 − 3) 3 в многочлен.
Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:
(n 2 − 3) 3 = (n 2 ) 3 − 3 × (n 2 ) 2 × 3 + 3 × n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27
Пример 4. Преобразовать выражение (2x 2 − x 3 ) 3 в многочлен.
Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:
Умножение разности двух выражений на их сумму
Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на их сумму. Например:
В этом выражении разность двух выражений a и b умножена на сумму этих же двух выражений. Выполним данное умножение:
То есть выражение (a − b)(a + b) равно a 2 − b 2
Видим, что при умножении разности двух выражений на их сумму, получается разность квадратов этих выражений.
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
Пример 1. Выполнить умножение (2x − 5)(2x + 5)
В этом примере разность выражений 2x и 5 умножена на сумму этих же выражений. Тогда согласно формуле (a − b)(a + b) = a 2 − b 2 имеем:
Вычислим правую часть, получим 4x 2 − 25
Пример 2. Выполнить умножение (4x − 5y)(4x + 5y)
Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:
Пример 3. Выполнить умножение (2a + 3b)(2a − 3b)
Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:
В данном примере сумма членов 2a и 3b располагалась раньше, чем разность этих членов. А в формуле (a − b)(a + b) = a 2 − b 2 разность располагается раньше.
Пример 3. Выполнить умножение (7 + 3x)(3x − 7)
Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:
Пример 4. Выполнить умножение (x 2 − y 3 )(x 2 + y 3 )
Пример 5. Выполнить умножение (−5x − 3y)(5x − 3y)
Произведение (5x + 3y)(5x − 3y) заменим на разность квадратов:
Далее вычисляем выражение в скобках:
Теперь умножим −1 на выражение в скобках и получим окончательный результат:
Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы
Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на неполный квадрат их суммы. Выглядит это произведение следующим образом:
Первый многочлен (a − b) является разностью двух выражений, а второй многочлен (a 2 + ab + b 2 ) является неполным квадратом суммы этих двух выражений.
Итак, умножим разность (a − b) на неполный квадрат суммы a 2 + ab + b 2
Это тождество называют формулой умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Эту формулу можно прочитать так:
Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.
Пример 1. Выполнить умножение (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2 )
Пример 2. Выполнить умножение (3 − x)(9 + 3x + x 2 )
Первый многочлен (3 − x) является разностью двух выражений, а второй многочлен является неполным квадратом суммы этих двух выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3
Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности
Встречаются задачи, в которых требуется умножить сумму двух выражений на неполный квадрат их разности. Выглядит это произведение следующим образом:
Первый многочлен (a + b) является суммой двух выражений, а второй многочлен (a 2 − ab + b 2 ) является неполным квадратом разности этих двух выражений.
Вернёмся к изначальному примеру. Умножим сумму a + b на неполный квадрат разности a 2 − ab + b 2
Это тождество называют формулой умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Эту формулу можно прочитать так:
Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.
Пример 1. Выполнить умножение (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2 )
Пример 2. Выполнить умножение (2x + y)(4x 2 − 2xy + y 2 )
Первый многочлен (2x + y) является суммой двух выражений, а второй многочлен (4x 2 − 2xy + y 2 ) является неполным квадратом разности этих выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3
Формулы сокращённого умножения
При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.
Следует также помнить, что вместо « a » и « b » в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.
Разность квадратов
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.
a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)
Квадрат суммы
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:
Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.
Предостережение!
Квадрат разности
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:
(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2
Куб суммы
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Как запомнить куб суммы
Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.
Предостережение!
Куб разности
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.
(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков « + » и « − ». Перед первым членом « a 3 » стоит « + » (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять « − », затем опять « + » и т.д.
(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Сумма кубов
Не путать с кубом суммы!
Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
Сумма кубов — это произведение двух скобок.
Разность кубов
Не путать с кубом разности!
Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
Будьте внимательны при записи знаков.
Применение формул сокращенного умножения
Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.
Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».
