Иррациональные выражения (выражения с корнями) и их преобразование
Статья раскрывает смысл иррациональных выражений и преобразования с ними. Рассмотрим само понятие иррациональных выражений, преобразование и характерные выражения.
Что такое иррациональные выражения?
При знакомстве с корнем в школе мы изучаем понятие иррациональных выражений. Такие выражения тесно связаны с корнями.
Иррациональные выражения – это выражения, которые имеют корень. То есть это выражения, имеющие радикалы.
Основные виды преобразований иррациональных выражений
При вычислении таких выражений необходимо обратить внимание на ОДЗ. Часто они требуют дополнительных преобразований в виде раскрытия скобок, приведения подобных членов, группировок и так далее. Основа таких преобразований – действия с числами. Преобразования иррациональных выражений придерживаются строгого порядка.
Необходимо выполнить замену числа 9 на выражение, содержащее корень. Тогда получаем, что
Полученное выражение имеет подобные слагаемые, поэтому выполним приведение и группировку. Получим
Результат тождественных преобразований привел к произведению двух рациональных выражений, которые необходимо было найти.
Можно выполнять ряд других преобразований, которые относятся к иррациональным выражениям.
Преобразование подкоренного выражения
Использование свойств корней
Для правильного преобразования используют преобразования иррациональных выражений с использованием свойств корней.
Внесение множителя под знак корня
Вынесение множителя из-под знака корня
Вынесение множителя из-под корня необходимо для упрощения выражения и его быстрого преобразования.
Преобразование дробей, содержащих корни
Необходимо обратить внимание на то, что необходимо изменять знак только числителя или только знаменателя. Получим, что
Сокращение дроби чаще всего используется при упрощении. Получаем, что
Перед сокращением необходимо выполнять преобразования, которые упрощают выражение и дают возможность разложить на множители сложное выражение. Чаще всего применяют формулы сокращенного умножения.
Сокращение дробей или приведение подобных необходимо только на ОДЗ указанной дроби. При умножении числителя и знаменателя на иррациональное выражение получаем, что мы избавляемся от иррациональности в знаменателе.
Избавление от иррациональности в знаменателе
Переход от корней к степеням
Корень и его свойства
Тема в математике «Корень и его свойства» нередко вызывает затруднения у школьников, особенно при решении примеров. В данной статье описаны основные свойства корней, а также правила сложения, вычитания, умножения и деления. Наглядные примеры помогаю понять, как решать задания с корнями.
Определение «Корень»
Корень второй степени (квадратный корень) из числа a — это число, которое становится равным a, если число a возвести во вторую степень (в квадрат).
Например, √ 64 = 8 (√ 64 равно числу 8).
Формула: √ a 2 = a
Число, стоящее под знаком корня, называется подкоренным числом. Если под знаком корня стоит целое выражение, то его называют подкоренным выражением.
Свойство квадратного корня: для действительных чисел не существует квадратный корень из отрицательного числа, так как возведение числа в квадрат будет всегда неотрицательным числом.
Извлечение корней: примеры
Найти корень из числа можно одним из следующих способов:
Приведение корней с разными показателями
Для того, чтобы упростить выражение с корнями, которое содержит корни разных степеней, необходимо привести все корни к одной степени.
Например, есть квадратный корень (второй степени √ 2 ) и кубический корень (третьей степени 3 √ 3 ).
Во-первых, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) для степеней. В нашем примере НОК=6 (2х3).
Во-вторых, применим свойство a = n √ a n : √ 2 = 2 √ 2 = 6 √ 2 3 = 6 √ 8 ; 3 √ 3 = 6 √ 3 2 = 6 √ 9
Получилось два корня одинаковой степени, с которыми можно совершать различные математические действия.
Корень: сложение и вычитание корней
Основное правила сложения и вычитания квадратных корней: сложение и вычитание квадратного корня возможны только при условии одинакового подкоренного выражения.
Примеры:
2√ 3 + 3√ 3 = 5√ 3
2√ 3 + 2√ 4 – не выполняется.
Алгоритм действия:
1. Упростить подкоренное выражение путем разложения на простые множители.
2. Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня.
3. После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
4. У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!
Корень: умножение
Умножение корней без множителей
Произведение корней из чисел равно корню из произведения этих чисел.
√ a*b =√ a *√ b
Важно: между собой можно умножать только одинаковые степени корней, то есть можно умножить один квадратный корень на другой, но нельзя умножить квадратный корень на корень кубической степени.
Примеры:
√ 2 х √ 3 = √ 6
√ 6 х √ 3 = √ 18 = √ 3х3х2 = 3√ 2
Умножение корней с множителями
При умножении корней с множителями нужно отдельно перемножить множители и подкорневые выражения (числа). Подкорневые числа можно перемножать между собой только в том случае, если они имеют одинаковые степени (см. умножение корней без множителей). В случае отсутствия множителя, он равен единице.
Примеры:
3√ 2 х √ 5 = (3х1) √ (2*5) = 3√ 10
4√ 2 х 3√ 3 = (3х4) √ (2х3) = 12√ 6
Корень: деление
Основной правило деления — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители.
√ a:b =√ a :√ b
В процессе деления квадратных корней дроби упрощаются.
Деление корней без множителей
Частное корней из чисел равно корню из частного этих чисел.
Важно: между собой можно делить только одинаковые степени корней, то есть можно делить один квадратный корень на другой, но нельзя делить квадратный корень на корень кубической степени.
Пример. √ 21 :√ 3 =√ 21:3 =√ 7
Деление квадратных корней с множителями
Примеры для практики
Чтобы попрактиковаться решать примеры на вычисление квадратный корней, можно скачать программу «Корни квадратные«
Как упростить алгебраическое выражение
Некоторые алгебраические примеры одним видом способны наводить ужас на школьников. Длинные выражения не только пугают, но и очень затрудняют вычисления. Пытаясь сходу понять, что и за чем следует, недолго запутаться. Именно по этой причине математики всегда стараются максимально упростить «жуткое» задание и только потом приступают к его решению. Как ни странно, такой трюк значительно ускоряет процесс работы.
Упрощение является одним из фундаментальных моментов в алгебре. Если в простых задачах без него ещё можно обойтись, то более трудные для вычисления примеры могут оказаться «не по зубам». Тут-то и пригодятся эти навыки! Тем более что сложных математических знаний не требуется: достаточно будет всего лишь запомнить и научиться применять на практике несколько базовых приёмов и формул.
Необходимые знания и умения
Вне зависимости от сложности вычислений при решении любого выражения важно соблюдать порядок выполнения операций с числами:
Последние два пункта можно спокойно поменять местами и это никак не отразится на результате. Но складывать два соседних числа, когда рядом с одним из них стоит знак умножения категорически нельзя! Ответ если и получится, то неверный. Поэтому нужно запомнить последовательность.
Применение подобных
К таким элементам относятся числа с переменной одного порядка или одинаковой степени. Существуют и так называемые свободные члены, не имеющие рядом с собой буквенного обозначения неизвестного.
Суть заключается в том, что при отсутствии скобок можно упростить выражение, складывая или вычитая между собой подобные.
Несколько наглядных примеров:
Разложение числа на множители
Эта маленькая математическая хитрость, если научиться её правильно использовать, в будущем не раз поможет справиться с каверзной задачкой. Да и понять, как работает «система», несложно: разложением называют произведение нескольких элементов, вычисление которого даёт исходное значение. Таким образом, 20 можно представить как на 20×1, 2×10, 5×4, 2×5×2 или другим способом.
На заметку: множители всегда совпадают с делителями. Так что искать рабочую «пару» для разложения нужно среди чисел, на которые исходное делится без остатка.
Проделывать такую операцию можно как со свободными членами, так и с цифрами при переменной. Главное, не потерять последнюю во время вычислений — даже после разложения неизвестная не может взять и «уйти в никуда». Она остаётся при одном из множителей:
Простые числа, которые можно разделить лишь на себя или 1, никогда не раскладываются — в этом нет смысла.
Основные способы упрощения
Первое, за что цепляется взгляд:
Алгебраические примеры в школьной программе часто составляются с учётом того, что их можно красиво упростить.
Вычисления в скобках
Внимательно следите за знаком, стоящим перед скобками! Умножение или деление применяется к каждому элементу внутри, а минус — меняет имеющиеся знаки «+» или «-» на противоположные.
Скобки вычисляются по правилам либо по формулам сокращённого умножения, после чего приводятся подобные.
Сокращение дробей
Сокращать дроби тоже несложно. Они сами через раз «охотно убегают», стоит произвести операции с приведением подобных членов. Но упростить пример можно ещё до этого: обращайте внимание на числитель и знаменатель. Они нередко содержат явные или скрытые элементы, которые можно взаимно сократить. Правда, если в первом случае нужно всего лишь вычеркнуть лишнее, во втором придётся подумать, приводя часть выражения к виду для упрощения. Используемые методы:
Когда выражение или его часть находится под корнем, первостепенная задача упрощения практически аналогична случаю с дробями. Необходимо искать способы полностью от него избавиться или, если это невозможно, максимально сократить мешающий вычислениям знак. Например, до ненавязчивого √(3) или √(7).
Верный способ упростить подкоренное выражение — попытаться разложить его на множители, часть из которых выносится за пределы знака. Наглядный пример: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).
Другие маленькие хитрости и нюансы:
Упрощение степенного выражения
Если в случае простых вычислений на минус или плюс примеры упрощаются за счёт приведения подобных, то как быть при умножении или делении переменных с разными степенями? Их можно легко упростить, запомнив два основных момента:
Единственное условие для такого упрощения — одинаковое основание у обоих членов. Примеры для наглядности:
Отмечаем, что операции с числовыми значениями, стоящими перед переменными, происходят по обычным математическим правилам. И если присмотреться, то становится понятно, что степенные элементы выражения «работают» аналогично:
Как и в любом деле, при упрощении алгебраических выражений необходимо не только знание основ, но и практика. Уже через несколько занятий примеры, когда-то кажущиеся сложными, будут сокращаться без особого труда, превращаясь в короткие и легко решаемые.
Видео
Это видео поможет вам разобраться и запомнить, как упрощаются выражения.
Как упростить подкоренное выражение
Подкоренное выражение — это алгебраическое выражение, которое находится под знаком корня (квадратного, кубического или более высокого порядка). Иногда значения разных выражений могут быть одинаковыми, например, 1/(√2 — 1) = √2 + 1. Упрощение подкоренного выражения призвано привести его к некоторой канонической форме записи. Если два выражения, которые записаны в канонической форме, по-прежнему различны, их значения не равны. В математике считается, что каноническая форма записи подкоренных выражений (а также выражений с корнями) соответствует следующим правилам:
Эти правила можно применить к выполнению тестовых заданий. Например, если вы решили задачу, но результат не совпадает ни с одним из приведенных ответов, запишите результат в канонической форме. Имейте в виду, что ответы к тестовым заданиям даются в канонической форме, поэтому если записать результат в той же форме, вы с легкостью определите правильный ответ. Если в задаче требуется «упростить ответ» или «упростить подкоренные выражения», необходимо записать результат в канонической форме. Более того, каноническая форма упрощает решение уравнений, хотя с некоторыми уравнениями легче справиться, если на время забыть о канонической форме записи.
Если нужно, вспомните правила выполнения операций с корнями и степенями (запомните: подкоренное выражение — это выражение с дробным показателем степени), потому что такие правила понадобятся в дальнейшем. Более того, вспомните правила обращения и упрощения многочленов и рациональных выражений.
Избавление от полных квадратов и полных кубов
Упростите подкоренное выражение, которое является полным квадратом. Полный квадрат представляет собой число, которое является квадратом некоторого целого числа, например, 81 — это полный квадрат, потому что 9^2 = 9 х 9 = 81. Чтобы упростить подкоренное выражение, которое является полным квадратом, просто избавьтесь от знака корня и запишите целое число (при возведении которого в квадрат получится подкоренное выражение).
Упростите подкоренное выражение, которое является полным кубом. Полный куб представляет собой число, которое является кубом некоторого целого числа, например, 27 — это полный куб, потому что 3^3 = 3 х 3 X 3 = 27. Чтобы упростить подкоренное выражение, которое является полным кубом, просто избавьтесь от знака корня и запишите целое число (при возведении которого в куб получится подкоренное выражение).
Избавление от выражения с дробным показателем
Преобразуйте выражение с дробным показателем в подкоренное выражение. Или, если нужно, преобразуйте подкоренное выражение в выражение с дробным показателем, но никогда не смешивайте такие выражения в одном уравнении, например, так: √5 + 5^(3/2). Допустим, вы решили работать с корнями; квадратный корень из n будем обозначать как √n, а кубический корень из n как куб√n.
Найдите выражение с дробным показателем и преобразуйте его в подкоренное выражение: х^(a/b) = корень b-й степени из x^a.
Преобразуйте выражение с отрицательным показателем в соответствующее дробное выражение: х^(-y) = 1/х^у.
Приведите подобные члены и упростите любые рациональные выражения.
Избавление от дробей под знаком корня
Согласно канонической форме записи корень из дроби нужно представить в виде деления корней из целых чисел.
Посмотрите на подкоренное выражение. Если оно представляет собой дробь, перейдите к следующему шагу.
Замените корень из дроби отношением двух корней согласно следующему тождеству: √(a/b) = √a/√b.
Упростите полные квадраты (если они есть). Например, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.
Выполните другие упрощения, например, упростите составные дроби, приведите подобные члены и так далее.
Избавление от операции умножения корней
Если в уравнении присутствует операция умножения корня на корень, объедините два подкоренных выражения под одним знаком корня согласно тождеству: √а * √b = √(ab). Например, √2 * √6 = √12.
Избавление от множителей, которые являются полными квадратами
Разложите подкоренное число на множители. Множители — это некоторые числа, при перемножении которых получается исходное число. Например, 5 и 4 являются двумя множителями числа 20. Если из подкоренного числа нельзя извлечь целочисленный корень, разложите такое число на возможные множители и найдите среди них полный квадрат.
Вынесите за знак корня множитель, который является полным квадратом. 9 представляет собой полный квадрат, потому что 3 х 3 = 9. Избавьтесь от 9 под знаком корня и запишите 3 перед знаком корня; под знаком корня останется 5. Если вы внесете число 3 под знак корня, оно будет умножено на себя и на число 5, то есть 3 х 3 х 5 = 9 х 5 = 45. Таким образом, 3√ 5 — это упрощенная форма записи √45.
Найдите полный квадрат в подкоренном выражении с переменной. Запомните: √(a^2) = |а|. Такое выражение можно упростить до «а», но только если переменная принимает положительные значения. √(a^3) можно разложить на √а * √(а^2), потому что при перемножении одинаковых переменных их показатели складываются (а * а^2 = а^3).
Вынесите за знак корня переменную, которая является полным квадратом. Избавьтесь от a^2 под знаком корня и запишите «а» перед знаком корня. Таким образом, √(а^3) = а√а.
Приведите подобные члены и упростите любые рациональные выражения.
Избавление от корней в знаменателе (рационализация знаменателя)
Согласно канонической форме знаменатель, если возможно, должен включать только целые числа (или многочлен в случае присутствия переменной).
Упростите числитель после того, как вы избавились от корней в знаменателе. В числителе находится произведение исходного выражения и сопряженного выражения. Раскройте скобки, перемножив соответствующие члены. Приведите подобные члены и, если можно, упростите полученное выражение.
Советы
Об этой статье
В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.
Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества. Количество просмотров этой статьи: 112 594.
Эту страницу просматривали 112 594 раза.
Была ли эта статья полезной?
Как упростить квадратный корень
Упростить квадратный корень вовсе не так сложно, как может показаться. Нужно просто разложить число на множители и извлечь из-под знака корня полные квадраты. Запомнив несколько самых распространенных квадратов и научившись раскладывать число на множители, вы сможете запросто упрощать квадратные корни.
Разложение на множители
Цель упрощения квадратного корня — это переписать его в такой форме, которую проще использовать в вычислениях. Разложение числа на множители — это нахождение двух или нескольких чисел, которые при перемножении дадут исходное число, например, 3 х 3 = 9. Найдя множители, вы сможете упростить квадратный корень или вообще избавиться от него. Например, √9 = √(3×3) = 3.[1]
Если подкоренное число четное, разделите его на 2. Если подкоренное число нечетное, попробуйте разделить его на 3 (если число на 3 не делится, делите его на 5, 7 и так далее по списку простых чисел). Делите подкоренное число исключительно на простые числа, так как любое число можно разложить на простые множители. Например, вам не нужно делить подкоренное число на 4, так как 4 делится на 2, а вы уже разделили подкоренное число на 2.[2]
Перепишите задачу как корень из произведения двух чисел. Например, упростим √98: 98 ÷ 2 = 49, поэтому 98 = 2 x 49. Перепишите задачу так: √98 = √(2 x 49).[3]
Продолжайте разложение чисел до тех пор, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел. Это имеет смысл, если задуматься о смысле квадратного корня: √(2 х 2) равен числу, которое, будучи умноженным само на себя, будет равно 2 х 2. Очевидно, что это число 2! Повторите описанные выше действия для нашего примера: √(2 х 49).
Упростите квадратный корень. Так как под корнем находится произведение 2 и двух одинаковых чисел (7), вы можете вынести такое число за знак корня. В нашем примере: √(2 x 7 x 7) = √(2)√(7 x 7) = √(2) x 7 = 7√(2).[4]
Некоторые корни можно упрощать многократно. В этом случае числа, выносимые из-под знака корня, и числа, стоящие перед корнем, перемножаются. Например:
Если вы не можете получить два одинаковых числа под знаком корня, то такой корень упростить нельзя. Если вы разложили подкоренное выражение на произведение простых множителей и среди них нет двух одинаковых чисел, то такой корень упростить нельзя. Например, попробуем упростить √70:[5]
Полный квадрат
Запомните несколько квадратов простых чисел. Квадрат числа получается при его возведении во вторую степень, то есть умножении на само себя. Например, 25 — полный квадрат, потому что 5 x 5 (52) = 25. Запомнив хотя бы десяток полных квадратов, вы сможете быстро упрощать корни. Вот первые десять полных квадратов:
Если под знаком квадратного корня вы видите полный квадрат, то избавьтесь от знака корня (√) и запишите квадратный корень этого полного квадрата. Например, если под знаком квадратного корня находится число 25, то такой корень равен 5, так как 25 является полным квадратом.
Разложите число под знаком корня на произведение полного квадрата и другого числа. Если вы заметили, что подкоренное выражение можно разложить на произведение полного квадрата и какого-то числа, то вы сэкономите время и усилия. Вот несколько примеров:[6]
Разложите подкоренное число на произведение нескольких полных квадратов. В этом случае вынесите их из-под знака корня и перемножьте. Например:
Терминология
√ — это знак квадратного корня. Например, в √25, «√» — это знак квадратного корня.[7]
Под знаком корня записывается подкоренное выражение. Например, «25» — это подкоренное выражение (число) в √25.[8]
Коэффициент — это число, стоящее перед знаком корня (слева от него). Это число, на которое умножается квадратный корень; оно записывается слева от знака √. Например, «7» — это коэффициент в 7√2.
Множитель — целое число, получаемое при делении другого числа. 2 — множитель 8, так как 8 ÷ 4 = 2, а 3 не является множителем 8, так как 8 на 3 не делится (нацело). 5 — множитель 25, так как 5 x 5 = 25.
Поймите смысл упрощения квадратного корня. Упрощение квадратного корня — это нахождение среди множителей подкоренного выражения полных квадратов и их извлечение из-под корня. Если число является полным квадратом, то знак корня исчезнет, как только вы запишете его корень. Например, √98 может быть упрощен до 7√2.
Как упростить подкоренное выражение
Подкоренное выражение — это алгебраическое выражение, которое находится под знаком корня (квадратного, кубического или более высокого порядка). Иногда значения разных выражений могут быть одинаковыми, например, 1/(√2 — 1) = √2 + 1. Упрощение подкоренного выражения призвано привести его к некоторой канонической форме записи. Если два выражения, которые записаны в канонической форме, по-прежнему различны, их значения не равны. В математике считается, что каноническая форма записи подкоренных выражений (а также выражений с корнями) соответствует следующим правилам:
Эти правила можно применить к выполнению тестовых заданий. Например, если вы решили задачу, но результат не совпадает ни с одним из приведенных ответов, запишите результат в канонической форме. Имейте в виду, что ответы к тестовым заданиям даются в канонической форме, поэтому если записать результат в той же форме, вы с легкостью определите правильный ответ. Если в задаче требуется «упростить ответ» или «упростить подкоренные выражения», необходимо записать результат в канонической форме. Более того, каноническая форма упрощает решение уравнений, хотя с некоторыми уравнениями легче справиться, если на время забыть о канонической форме записи.
Если нужно, вспомните правила выполнения операций с корнями и степенями (запомните: подкоренное выражение — это выражение с дробным показателем степени), потому что такие правила понадобятся в дальнейшем. Более того, вспомните правила обращения и упрощения многочленов и рациональных выражений.
Избавление от полных квадратов и полных кубов
Упростите подкоренное выражение, которое является полным квадратом. Полный квадрат представляет собой число, которое является квадратом некоторого целого числа, например, 81 — это полный квадрат, потому что 9^2 = 9 х 9 = 81. Чтобы упростить подкоренное выражение, которое является полным квадратом, просто избавьтесь от знака корня и запишите целое число (при возведении которого в квадрат получится подкоренное выражение).
Упростите подкоренное выражение, которое является полным кубом. Полный куб представляет собой число, которое является кубом некоторого целого числа, например, 27 — это полный куб, потому что 3^3 = 3 х 3 X 3 = 27. Чтобы упростить подкоренное выражение, которое является полным кубом, просто избавьтесь от знака корня и запишите целое число (при возведении которого в куб получится подкоренное выражение).
Избавление от выражения с дробным показателем
Преобразуйте выражение с дробным показателем в подкоренное выражение. Или, если нужно, преобразуйте подкоренное выражение в выражение с дробным показателем, но никогда не смешивайте такие выражения в одном уравнении, например, так: √5 + 5^(3/2). Допустим, вы решили работать с корнями; квадратный корень из n будем обозначать как √n, а кубический корень из n как куб√n.
Найдите выражение с дробным показателем и преобразуйте его в подкоренное выражение: х^(a/b) = корень b-й степени из x^a.
Преобразуйте выражение с отрицательным показателем в соответствующее дробное выражение: х^(-y) = 1/х^у.
Приведите подобные члены и упростите любые рациональные выражения.
Избавление от дробей под знаком корня
Согласно канонической форме записи корень из дроби нужно представить в виде деления корней из целых чисел.
Посмотрите на подкоренное выражение. Если оно представляет собой дробь, перейдите к следующему шагу.
Замените корень из дроби отношением двух корней согласно следующему тождеству: √(a/b) = √a/√b.
Упростите полные квадраты (если они есть). Например, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.
Выполните другие упрощения, например, упростите составные дроби, приведите подобные члены и так далее.
Избавление от операции умножения корней
Если в уравнении присутствует операция умножения корня на корень, объедините два подкоренных выражения под одним знаком корня согласно тождеству: √а * √b = √(ab). Например, √2 * √6 = √12.
Избавление от множителей, которые являются полными квадратами
Разложите подкоренное число на множители. Множители — это некоторые числа, при перемножении которых получается исходное число. Например, 5 и 4 являются двумя множителями числа 20. Если из подкоренного числа нельзя извлечь целочисленный корень, разложите такое число на возможные множители и найдите среди них полный квадрат.
Вынесите за знак корня множитель, который является полным квадратом. 9 представляет собой полный квадрат, потому что 3 х 3 = 9. Избавьтесь от 9 под знаком корня и запишите 3 перед знаком корня; под знаком корня останется 5. Если вы внесете число 3 под знак корня, оно будет умножено на себя и на число 5, то есть 3 х 3 х 5 = 9 х 5 = 45. Таким образом, 3√ 5 — это упрощенная форма записи √45.
Найдите полный квадрат в подкоренном выражении с переменной. Запомните: √(a^2) = |а|. Такое выражение можно упростить до «а», но только если переменная принимает положительные значения. √(a^3) можно разложить на √а * √(а^2), потому что при перемножении одинаковых переменных их показатели складываются (а * а^2 = а^3).
Вынесите за знак корня переменную, которая является полным квадратом. Избавьтесь от a^2 под знаком корня и запишите «а» перед знаком корня. Таким образом, √(а^3) = а√а.
Приведите подобные члены и упростите любые рациональные выражения.
Избавление от корней в знаменателе (рационализация знаменателя)
Согласно канонической форме знаменатель, если возможно, должен включать только целые числа (или многочлен в случае присутствия переменной).
Упростите числитель после того, как вы избавились от корней в знаменателе. В числителе находится произведение исходного выражения и сопряженного выражения. Раскройте скобки, перемножив соответствующие члены. Приведите подобные члены и, если можно, упростите полученное выражение.
Советы
Об этой статье
В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.
Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества. Количество просмотров этой статьи: 112 594.
Эту страницу просматривали 112 594 раза.
Была ли эта статья полезной?
Иррациональные выражения (выражения с корнями) и их преобразование
Статья раскрывает смысл иррациональных выражений и преобразования с ними. Рассмотрим само понятие иррациональных выражений, преобразование и характерные выражения.
Что такое иррациональные выражения?
При знакомстве с корнем в школе мы изучаем понятие иррациональных выражений. Такие выражения тесно связаны с корнями.
Иррациональные выражения — это выражения, которые имеют корень. То есть это выражения, имеющие радикалы.
При рассмотрении выражения x · x — 7 · x + 7 x + 3 2 · x — 8 3 получаем, что выражение является рациональным. К рациональным выражениям относят многочлены и алгебраические дроби. Иррациональные включают в себя работу с логарифмическими выражениями или подкоренными выражениями.
Основные виды преобразований иррациональных выражений
При вычислении таких выражений необходимо обратить внимание на ОДЗ. Часто они требуют дополнительных преобразований в виде раскрытия скобок, приведения подобных членов, группировок и так далее. Основа таких преобразований — действия с числами. Преобразования иррациональных выражений придерживаются строгого порядка.
Необходимо выполнить замену числа 9 на выражение, содержащее корень. Тогда получаем, что
81 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3 = = 9 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3
Полученное выражение имеет подобные слагаемые, поэтому выполним приведение и группировку. Получим
9 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3 = = 9 — 2 + 1 + 3 3 + 4 · 3 3 — 2 · 3 3 = = 8 + 3 · 3 3
Ответ: 9 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3 = 8 + 3 · 3 3
Представить выражение x + 3 5 2 — 2 · x + 3 5 + 1 — 9 в виде произведения двух иррациональных с использованием формул сокращенного умножения.
x + 3 5 2 — 2 · x + 3 5 + 1 — 9 = = x + 3 5 — 1 2 — 9
x + 3 5 — 1 2 — 9 = x + 3 5 — 1 2 — 3 2 = = x + 3 5 — 1 — 3 · x + 3 5 — 1 + 3 = = x + 3 5 — 4 · x + 3 5 + 2
Результат тождественных преобразований привел к произведению двух рациональных выражений, которые необходимо было найти.
x + 3 5 2 — 2 · x + 3 5 + 1 — 9 = = x + 3 5 — 4 · x + 3 5 + 2
Можно выполнять ряд других преобразований, которые относятся к иррациональным выражениям.
Преобразование подкоренного выражения
Использование свойств корней
Для правильного преобразования используют преобразования иррациональных выражений с использованием свойств корней.
Внесение множителя под знак корня
Вынесение множителя из-под знака корня
Вынесение множителя из-под корня необходимо для упрощения выражения и его быстрого преобразования.
Преобразование дробей, содержащих корни
Необходимо обратить внимание на то, что необходимо изменять знак только числителя или только знаменателя. Получим, что
— x + 2 · x — 3 · x 2 + 7 4 = x + 2 · x — ( — 3 · x 2 + 7 4 ) = x + 2 · x 3 · x 2 — 7 4
Сокращение дроби чаще всего используется при упрощении. Получаем, что
Перед сокращением необходимо выполнять преобразования, которые упрощают выражение и дают возможность разложить на множители сложное выражение. Чаще всего применяют формулы сокращенного умножения.
Сокращение дробей или приведение подобных необходимо только на ОДЗ указанной дроби. При умножении числителя и знаменателя на иррациональное выражение получаем, что мы избавляемся от иррациональности в знаменателе.
Избавление от иррациональности в знаменателе
Переход от корней к степеням
Когда под корнем имеется отрицательное число или число с переменными, тогда формула a m n = a m n не всегда применима. Если нужно заменить такие корни ( — 8 ) 3 5 и ( — 16 ) 2 4 степенями, тогда получаем, что — 8 3 5 и — 16 2 4 по формуле a m n = a m n не работаем с отрицательными а. для того, чтобы подробно разобрать тему подкоренных выражений и их упрощений, необходимо изучать статью о переходе от корней к степеням и обратно. Следует помнить о том, что формула a m n = a m n применима не для всех выражений такого вида. Избавление от иррациональности способствует дальнейшему упрощению выражения, его преобразованию и решению.
