Как упростить квадратный корень

Как упростить уравнения квадратного корня?

Кроме того, какова формула квадратного корня?

Таким образом, является ли квадратный корень из 14 SURD?

Квадратный корень из 14 выражается как √14 в радикальной форме и как (14)

или (14)

0.5

в экспоненциальной форме.

Корень квадратный из 14 в радикальной форме: √14.

1.	Что такое квадратный корень из 14?
6.	Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 14

Какая формула a2 b2?

Что такое формула алгебры?

Целое	Идеальный квадрат
12 х 12	144
13 х 13	169
14 х 14	196
15 х 15	225

Является ли квадратный корень 17 SURD?

Рациональное число определяется как число, которое может быть выражено в форме частного или деления двух целых чисел. Оба числа не могут быть представлены в форме рационального числа и имеют непрерывный неповторяющийся десятичный след. Таким образом, квадратный корень из 17 иррационален.

Какое число имеет квадратный корень из 14?

Список идеальных квадратов

НОМЕР	ПЛОЩАДЬ	КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ
12	144	3.464
13	169	3.606
14	196	3.742
15	225	3.873

Как вы оцениваете квадратный корень из 3?

Значение

корень 3

является положительным действительным числом, когда оно умножается само на себя; это дает номер

3

. Это не натуральное число, а дробь. В

квадратный корень из 3

обозначается √

3

.

Число	Квадратный корень (√)
2	1.414
3	1.732
4	2.000
5	2.236

Что такое квадратный корень из 10?

Квадратный корень из 10 равен 3.162.

Что такое формула A² B²?

Что такое формула 3 b 3?

Какое значение имеет a2 b2?

Значение a2 + b2 равно 4 + 4 = 8. Итак, a2 + b2 = 8.

Каковы четыре правила алгебры?

Основные законы алгебры: ассоциативный, коммутативный и распределительный законы. Они помогают объяснить взаимосвязь между числовыми операциями и способствуют упрощению уравнений или их решению.

Что такое формула тригонометрии?

Формулы тригонометрии наборы различных формул, включающие тригонометрические тождества, используется для решения задач, основанных на сторонах и углах прямоугольного треугольника. Эти тригонометрические формулы включают тригонометрические функции, такие как синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс, котангенс для заданных углов.

Какова формула A² B²?

Каков идеальный квадрат между 16 и 36?

Список идеальных квадратов?

Идеальный квадрат	Факторы
16	4 * 4
25	5 * 5
36	*6 6**
49	*7 7**

Какой следующий идеальный квадрат после 36?

Первые 12 полных квадратов: <1, 4, 9, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144…> Полные квадраты часто используются в математике.

Почему 9 квадратный корень из 81?

Пояснение: 81 = 9⋅9, тогда квадратный корень из √81 = 9. Поскольку двойное умножение для одного и того же знака всегда положительно, квадратный корень также действителен с другим знаком 81 = (- 9) ⋅ (−9), тогда √81 = −9, и мы можем сказать, что √81 = ± 9.

Является ли квадратный корень 36 сурдом?

Квадратный корень из 36 равен

6

. Это положительное решение уравнения x

= 36. Число 36 представляет собой полный квадрат.

Корень квадратный из 36 в радикальной форме: √36.

1.	Что такое квадратный корень из 36?
4.	faqSection

Каков точный квадратный корень из 15?

Квадратный корень из 15 равен 3.873.

Что такое квадрат 15?

Как упростить квадратный корень из 14?

Источник

Корень и его свойства

Тема в математике «Корень и его свойства» нередко вызывает затруднения у школьников, особенно при решении примеров. В данной статье описаны основные свойства корней, а также правила сложения, вычитания, умножения и деления. Наглядные примеры помогаю понять, как решать задания с корнями.

Определение «Корень»

Корень второй степени (квадратный корень) из числа a — это число, которое становится равным a, если число a возвести во вторую степень (в квадрат).
Например, √ 64 = 8 (√ 64 равно числу 8).

Формула: √ a 2 = a

Число, стоящее под знаком корня, называется подкоренным числом. Если под знаком корня стоит целое выражение, то его называют подкоренным выражением.
Свойство квадратного корня: для действительных чисел не существует квадратный корень из отрицательного числа, так как возведение числа в квадрат будет всегда неотрицательным числом.

Извлечение корней: примеры

Найти корень из числа можно одним из следующих способов:

Приведение корней с разными показателями

Для того, чтобы упростить выражение с корнями, которое содержит корни разных степеней, необходимо привести все корни к одной степени.

Например, есть квадратный корень (второй степени √ 2 ) и кубический корень (третьей степени 3 √ 3 ).
Во-первых, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) для степеней. В нашем примере НОК=6 (2х3).
Во-вторых, применим свойство a = n √ a n : √ 2 = 2 √ 2 = 6 √ 2 3 = 6 √ 8 ; 3 √ 3 = 6 √ 3 2 = 6 √ 9
Получилось два корня одинаковой степени, с которыми можно совершать различные математические действия.

Корень: сложение и вычитание корней

Основное правила сложения и вычитания квадратных корней: сложение и вычитание квадратного корня возможны только при условии одинакового подкоренного выражения.

Примеры:
2√ 3 + 3√ 3 = 5√ 3
2√ 3 + 2√ 4 – не выполняется.

Алгоритм действия:
1. Упростить подкоренное выражение путем разложения на простые множители.
2. Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня.
3. После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
4. У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!

Корень: умножение

Умножение корней без множителей

Произведение корней из чисел равно корню из произведения этих чисел.
√ a*b =√ a *√ b
Важно: между собой можно умножать только одинаковые степени корней, то есть можно умножить один квадратный корень на другой, но нельзя умножить квадратный корень на корень кубической степени.
Примеры:
√ 2 х √ 3 = √ 6
√ 6 х √ 3 = √ 18 = √ 3х3х2 = 3√ 2

Умножение корней с множителями

При умножении корней с множителями нужно отдельно перемножить множители и подкорневые выражения (числа). Подкорневые числа можно перемножать между собой только в том случае, если они имеют одинаковые степени (см. умножение корней без множителей). В случае отсутствия множителя, он равен единице.
Примеры:
3√ 2 х √ 5 = (3х1) √ (2*5) = 3√ 10
4√ 2 х 3√ 3 = (3х4) √ (2х3) = 12√ 6

Корень: деление

Основной правило деления — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители.
√ a:b =√ a :√ b
В процессе деления квадратных корней дроби упрощаются.

Деление корней без множителей

Частное корней из чисел равно корню из частного этих чисел.
Важно: между собой можно делить только одинаковые степени корней, то есть можно делить один квадратный корень на другой, но нельзя делить квадратный корень на корень кубической степени.
Пример. √ 21 :√ 3 =√ 21:3 =√ 7

Деление квадратных корней с множителями

Примеры для практики

Чтобы попрактиковаться решать примеры на вычисление квадратный корней, можно скачать программу «Корни квадратные«

Источник

Как упростить подкоренное выражение

Подкоренное выражение — это алгебраическое выражение, которое находится под знаком корня (квадратного, кубического или более высокого порядка). Иногда значения разных выражений могут быть одинаковыми, например, 1/(√2 — 1) = √2 + 1. Упрощение подкоренного выражения призвано привести его к некоторой канонической форме записи. Если два выражения, которые записаны в канонической форме, по-прежнему различны, их значения не равны. В математике считается, что каноническая форма записи подкоренных выражений (а также выражений с корнями) соответствует следующим правилам:

Эти правила можно применить к выполнению тестовых заданий. Например, если вы решили задачу, но результат не совпадает ни с одним из приведенных ответов, запишите результат в канонической форме. Имейте в виду, что ответы к тестовым заданиям даются в канонической форме, поэтому если записать результат в той же форме, вы с легкостью определите правильный ответ. Если в задаче требуется «упростить ответ» или «упростить подкоренные выражения», необходимо записать результат в канонической форме. Более того, каноническая форма упрощает решение уравнений, хотя с некоторыми уравнениями легче справиться, если на время забыть о канонической форме записи.

Если нужно, вспомните правила выполнения операций с корнями и степенями (запомните: подкоренное выражение — это выражение с дробным показателем степени), потому что такие правила понадобятся в дальнейшем. Более того, вспомните правила обращения и упрощения многочленов и рациональных выражений.

Избавление от полных квадратов и полных кубов

Упростите подкоренное выражение, которое является полным квадратом. Полный квадрат представляет собой число, которое является квадратом некоторого целого числа, например, 81 — это полный квадрат, потому что 9^2 = 9 х 9 = 81. Чтобы упростить подкоренное выражение, которое является полным квадратом, просто избавьтесь от знака корня и запишите целое число (при возведении которого в квадрат получится подкоренное выражение).

Упростите подкоренное выражение, которое является полным кубом. Полный куб представляет собой число, которое является кубом некоторого целого числа, например, 27 — это полный куб, потому что 3^3 = 3 х 3 X 3 = 27. Чтобы упростить подкоренное выражение, которое является полным кубом, просто избавьтесь от знака корня и запишите целое число (при возведении которого в куб получится подкоренное выражение).

Избавление от выражения с дробным показателем

Преобразуйте выражение с дробным показателем в подкоренное выражение. Или, если нужно, преобразуйте подкоренное выражение в выражение с дробным показателем, но никогда не смешивайте такие выражения в одном уравнении, например, так: √5 + 5^(3/2). Допустим, вы решили работать с корнями; квадратный корень из n будем обозначать как √n, а кубический корень из n как куб√n.

Найдите выражение с дробным показателем и преобразуйте его в подкоренное выражение: х^(a/b) = корень b-й степени из x^a.

Преобразуйте выражение с отрицательным показателем в соответствующее дробное выражение: х^(-y) = 1/х^у.

Приведите подобные члены и упростите любые рациональные выражения.

Избавление от дробей под знаком корня

Согласно канонической форме записи корень из дроби нужно представить в виде деления корней из целых чисел.

Посмотрите на подкоренное выражение. Если оно представляет собой дробь, перейдите к следующему шагу.

Замените корень из дроби отношением двух корней согласно следующему тождеству: √(a/b) = √a/√b.

Упростите полные квадраты (если они есть). Например, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

Выполните другие упрощения, например, упростите составные дроби, приведите подобные члены и так далее.

Избавление от операции умножения корней

Если в уравнении присутствует операция умножения корня на корень, объедините два подкоренных выражения под одним знаком корня согласно тождеству: √а * √b = √(ab). Например, √2 * √6 = √12.

Избавление от множителей, которые являются полными квадратами

Разложите подкоренное число на множители. Множители — это некоторые числа, при перемножении которых получается исходное число. Например, 5 и 4 являются двумя множителями числа 20. Если из подкоренного числа нельзя извлечь целочисленный корень, разложите такое число на возможные множители и найдите среди них полный квадрат.

Вынесите за знак корня множитель, который является полным квадратом. 9 представляет собой полный квадрат, потому что 3 х 3 = 9. Избавьтесь от 9 под знаком корня и запишите 3 перед знаком корня; под знаком корня останется 5. Если вы внесете число 3 под знак корня, оно будет умножено на себя и на число 5, то есть 3 х 3 х 5 = 9 х 5 = 45. Таким образом, 3√ 5 — это упрощенная форма записи √45.

Найдите полный квадрат в подкоренном выражении с переменной. Запомните: √(a^2) = |а|. Такое выражение можно упростить до «а», но только если переменная принимает положительные значения. √(a^3) можно разложить на √а * √(а^2), потому что при перемножении одинаковых переменных их показатели складываются (а * а^2 = а^3).

Вынесите за знак корня переменную, которая является полным квадратом. Избавьтесь от a^2 под знаком корня и запишите «а» перед знаком корня. Таким образом, √(а^3) = а√а.

Приведите подобные члены и упростите любые рациональные выражения.

Избавление от корней в знаменателе (рационализация знаменателя)

Согласно канонической форме знаменатель, если возможно, должен включать только целые числа (или многочлен в случае присутствия переменной).

Упростите числитель после того, как вы избавились от корней в знаменателе. В числителе находится произведение исходного выражения и сопряженного выражения. Раскройте скобки, перемножив соответствующие члены. Приведите подобные члены и, если можно, упростите полученное выражение.

Советы

Об этой статье

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества. Количество просмотров этой статьи: 112 594.

Эту страницу просматривали 112 594 раза.

Была ли эта статья полезной?

Как упростить квадратный корень

Упростить квадратный корень вовсе не так сложно, как может показаться. Нужно просто разложить число на множители и извлечь из-под знака корня полные квадраты. Запомнив несколько самых распространенных квадратов и научившись раскладывать число на множители, вы сможете запросто упрощать квадратные корни.

Разложение на множители

Цель упрощения квадратного корня — это переписать его в такой форме, которую проще использовать в вычислениях. Разложение числа на множители — это нахождение двух или нескольких чисел, которые при перемножении дадут исходное число, например, 3 х 3 = 9. Найдя множители, вы сможете упростить квадратный корень или вообще избавиться от него. Например, √9 = √(3×3) = 3.[1]

Если подкоренное число четное, разделите его на 2. Если подкоренное число нечетное, попробуйте разделить его на 3 (если число на 3 не делится, делите его на 5, 7 и так далее по списку простых чисел). Делите подкоренное число исключительно на простые числа, так как любое число можно разложить на простые множители. Например, вам не нужно делить подкоренное число на 4, так как 4 делится на 2, а вы уже разделили подкоренное число на 2.[2]

Перепишите задачу как корень из произведения двух чисел. Например, упростим √98: 98 ÷ 2 = 49, поэтому 98 = 2 x 49. Перепишите задачу так: √98 = √(2 x 49).[3]

Продолжайте разложение чисел до тех пор, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел. Это имеет смысл, если задуматься о смысле квадратного корня: √(2 х 2) равен числу, которое, будучи умноженным само на себя, будет равно 2 х 2. Очевидно, что это число 2! Повторите описанные выше действия для нашего примера: √(2 х 49).

Упростите квадратный корень. Так как под корнем находится произведение 2 и двух одинаковых чисел (7), вы можете вынести такое число за знак корня. В нашем примере: √(2 x 7 x 7) = √(2)√(7 x 7) = √(2) x 7 = 7√(2).[4]

Некоторые корни можно упрощать многократно. В этом случае числа, выносимые из-под знака корня, и числа, стоящие перед корнем, перемножаются. Например:

Если вы не можете получить два одинаковых числа под знаком корня, то такой корень упростить нельзя. Если вы разложили подкоренное выражение на произведение простых множителей и среди них нет двух одинаковых чисел, то такой корень упростить нельзя. Например, попробуем упростить √70:[5]

Полный квадрат

Запомните несколько квадратов простых чисел. Квадрат числа получается при его возведении во вторую степень, то есть умножении на само себя. Например, 25 — полный квадрат, потому что 5 x 5 (52) = 25. Запомнив хотя бы десяток полных квадратов, вы сможете быстро упрощать корни. Вот первые десять полных квадратов:

Если под знаком квадратного корня вы видите полный квадрат, то избавьтесь от знака корня (√) и запишите квадратный корень этого полного квадрата. Например, если под знаком квадратного корня находится число 25, то такой корень равен 5, так как 25 является полным квадратом.

Разложите число под знаком корня на произведение полного квадрата и другого числа. Если вы заметили, что подкоренное выражение можно разложить на произведение полного квадрата и какого-то числа, то вы сэкономите время и усилия. Вот несколько примеров:[6]

Разложите подкоренное число на произведение нескольких полных квадратов. В этом случае вынесите их из-под знака корня и перемножьте. Например:

Терминология

√ — это знак квадратного корня. Например, в √25, «√» — это знак квадратного корня.[7]

Под знаком корня записывается подкоренное выражение. Например, «25» — это подкоренное выражение (число) в √25.[8]

Коэффициент — это число, стоящее перед знаком корня (слева от него). Это число, на которое умножается квадратный корень; оно записывается слева от знака √. Например, «7» — это коэффициент в 7√2.

Множитель — целое число, получаемое при делении другого числа. 2 — множитель 8, так как 8 ÷ 4 = 2, а 3 не является множителем 8, так как 8 на 3 не делится (нацело). 5 — множитель 25, так как 5 x 5 = 25.

Поймите смысл упрощения квадратного корня. Упрощение квадратного корня — это нахождение среди множителей подкоренного выражения полных квадратов и их извлечение из-под корня. Если число является полным квадратом, то знак корня исчезнет, как только вы запишете его корень. Например, √98 может быть упрощен до 7√2.

Источник

Квадратный корень — все, что нужно для сдачи ОГЭ и ЕГЭ

Зачем нужен квадратный корень? Очень хороший вопрос…

Попробуй на калькуляторе извлечь корень из трех.

Получается число, которое никогда не кончается: \( \sqrt<3>=1,732050807568\ldots \)

Как же такое число запомнить? А как его записать, если, допустим, нельзя округлять? Например на ЕГЭ?

Очень просто. С помощью квадратного корня. Пишешь \( \sqrt <3>\) и все.

Именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня. К слову такие числа называются иррациональными.

Ну и давай теперь разберемся с квадратным корнем…

Квадратный корень. Коротко о главном

Определение квадратного корня

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа \( \displaystyle a\) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \( \displaystyle a\).

Главное!

Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

Свойства арифметического квадратного корня

Что такое арифметический квадратный корень

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа \(a\) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). \( (\sqrt=x,\ <^<2>>=a;\ x,\ a\ge 0)\).

А почему же число \( a\) (число под корнем) должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен \( \sqrt<-9>\)?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три?

Ну что же, не подбирается?

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число! Это надо запомнить!

Число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако ты наверняка уже заметил, что не только число под корнем должно быть неотрицательным, но и само значение тоже должно быть неотрицательным!

Ведь в определении сказано, что «квадратным корнем из числа\( a\)называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен\( a\)».

Но подождите! В самом начале мы разбирали пример \( <^<2>>=4\) и один из ответов был отрицательным числом!

А тут говорится, что квадратным корнем должно быть «неотрицательное число»! Почему?

Такой вопрос вполне уместен. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратного уравнения и арифметического квадратного корня.

К примеру, \( \displaystyle <^<2>>=4\) (квадратное уравнение) не равносильно выражению \( x=\sqrt<4>\) (арифмитический квадратный корень).

\( \left| x \right|=\sqrt<4>\), то есть \( x=\pm \sqrt<4>=\pm 2\) или \( <_<1>>=2\); \( <_<2>>=-2\)

(не помнишь почему так? Почитай тему «Модуль числа»!)

А из \( x=\sqrt<4>\) следует, что \( x=2\).

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки «плюс-минус» являются результатом решения квадратного уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как \( 2\), так и \( x=-2\).

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

Наглядный пример разницы между квадратным уравнением и квадратным корнем

Этот наглядный пример привёл наш читатель Игорь, спасибо ему за это:

Пусть есть две ситуации:

Во втором случае у нас нет квадратного уравнения, просто х равен корню из числа и в этом случае ответ всегда «одно неотрицательное число», то есть 8.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

А теперь попробуй решить такое уравнение \( <^<2>>=3\).

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: \( <<0>^<2>>=0\) – не подходит.

Двигаемся дальше \( \displaystyle x=1\); \( \displaystyle <<1>^<2>>=1\) – меньше трех, тоже отметаем.

А что если \( \displaystyle x=2\)?

Проверим: \( \displaystyle <<2>^<2>>=4\) – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.

Давай построим график функции \( \displaystyle y=<^<2>>\) и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора (как мы это делали в начале)!

Извлечем корень из \( \displaystyle 3\), делов-то!

Ой-ой-ой, выходит, что \( \sqrt<3>=1,732050807568\ldots \) Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Еще один пример для закрепления

Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной \( \displaystyle 1\) км, сколько км тебе предстоит пройти?

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: \( <^<2>>=<^<2>>+<^<2>>\).

Так чему же здесь равно искомое расстояние?

Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что \( c=\sqrt<2>\). Корень из двух приблизительно равен \( \displaystyle 1,41\), но, как мы заметили раньше, \( c=\sqrt<2>\) — уже является полноценным ответом.

Извлечение корней

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать.

Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от \( \displaystyle 1\) до \( \displaystyle 20\), а также уметь их распознавать.

То есть, тебе необходимо знать, что \( \displaystyle 15\) в квадрате равно \( \displaystyle 225\), а также, наоборот, что \( \displaystyle 225\) – это \( \displaystyle 15\) в квадрате.

Первое время в извлечении корня тебе поможет эта таблица.

Как только ты прорешаешь достаточное количество примеров, то надобность в ней автоматически отпадет.

Попробуй самостоятельно извлечь квадратный корень в следующих выражениях:

Ответы:

Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:

Ответы:

Свойства арифметического квадратного корня

Теперь ты знаешь, как извлекать корни и пришло время узнать о свойствах арифметического квадратного корня. Их всего 3:

Их ну просто очень легко запомнить с помощью этой таблицы и, конечно же, тренировки:

Попробуем решить по несколько примеров на каждое свойство!

Умножение корней

Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!

Начнем с простенького:

\( 12\) это \( \displaystyle 4\cdot 3\), а это значит, что мы можем записать вот так:

Усвоил? Вот тебе следующий:

\( \displaystyle \sqrt<4>\cdot \sqrt<6>=2\cdot \sqrt<6>=2\sqrt<6>\)

Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда – вот тебе такие примеры:

\( \displaystyle \sqrt<2>\cdot \sqrt<8>=\sqrt<16>=4\) \( \displaystyle \sqrt<12>\cdot \sqrt<3>=\sqrt<36>=6\)

А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

\( \displaystyle \sqrt<5>\cdot \sqrt<3>\cdot \sqrt<2>=\sqrt<10\cdot 3>=\sqrt30\)

Теперь полностью самостоятельно:

Молодец! Согласись, все очень легко, главное знать таблицу умножения!

Деление корней

С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

Напомню, что формула в общем виде выглядит так:

А значит это, что корень из частного равен частному корней.

Ну что, давай разбираться на примерах:

Вот и вся наука. А вот такой пример:

Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

А что, если попадется такое выражение:

Надо просто применить формулу в обратном направлении:

А вот такой примерчик:

Еще ты можешь встретить такое выражение:

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

Возведение в степень

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа \( \displaystyle a\) – это число, квадратный корень которого равен \( \displaystyle a\).

Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен \( \displaystyle a\), в квадрат, то что получаем?

Ну, конечно, \( \displaystyle a\)!

Рассмотрим на примерах:

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.

Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.

Вот, к примеру, такое выражение:

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:

Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Внесение под знак корня

Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!

Допустим, у нас записано число \( \displaystyle 3\sqrt<5>\)

Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка – корень квадратный из \( \displaystyle 9\)!

\( \displaystyle 3\sqrt<5>=\sqrt<9>\cdot \sqrt<5>=\sqrt<45>\)

Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:

\( \displaystyle 3\sqrt<10>-\sqrt<45>\cdot \sqrt<2>=\sqrt<90>-\sqrt<90>=0\)

Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак квадратного корня мы можем только положительные числа.

Реши самостоятельно вот этот пример — \( \displaystyle 4\sqrt<6>-2\sqrt<3>\cdot \sqrt<8>\)

Справился? Давай смотреть, что у тебя должно получиться:

Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному – рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!

Сравнение корней

Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?

Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)

Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!

Например, определи, что больше: \( \displaystyle 3\sqrt<7>\) или \( \displaystyle 2\sqrt<17>\)?

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?

Ну и, очевидно, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень!

Т.е. если \( \displaystyle 68>63\), значит, \( \displaystyle \sqrt<68>>\sqrt<63>\).

Отсюда твердо делаем вывод, что \( \displaystyle 3\sqrt

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

\( \displaystyle \sqrt<15>\cdot \sqrt<180>\cdot \sqrt<12>\)

Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!

На простые множители разложили. Что дальше? А дальше пользуемся свойством умножение корней и записываем все под одним знаком корня:

Вот и все, не так все и страшно, правда?

\( \displaystyle \sqrt<15>\cdot \sqrt<54>\cdot \sqrt<10>=?\)

Получилось \( \displaystyle 90\)? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

А теперь мы хотим услышать тебя…

Мы расписали подробно, как и для чего раскладывать многочлен на множители.

Мы привели массу примеров, как это делать на практике, указали на подводные камни, дали решения…

Как тебе эта статья? Ты пользуешься этими приемами? Понимаешь их суть?

Пиши в комментариях и… готовься к экзамену!

Пока что он самый важный в твоей жизни.

6 комментариев

Я сейчас учусь в 10 классе и я очень благодарен за этот ваш сайт. Очень помогло. Спасибо большое.

Спасибо, Абдурахмон! Очень приятно слышать. Заходите к нам ещё.

Рожик, очень рады слышать! Кстати, учебник рассчитан и на 8 класс тоже, потому что каждая тема идет от простого к сложному. У нас есть ученики из 5-го класса )

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Люба
13 ноября 2017
спасибо огромное очень помогли

Александр (админ)
13 ноября 2017
Люба, и тебе спасибо. Очень рады помочь!

илгар
21 августа 2019
спасибо очень понравилось отличная я сам с нуля изучаю физику физика самый классный предмет

Александр (админ)
21 августа 2019
Илгар, удачи в изучении физики. Физика очень интересный предмет!

Александр (админ)
13 ноября 2017
Анна, очень приятно слышать. Особенно нашим преподавателям, которые писали этот учебник Шевчуку Алексею Сергеевичу и Баштовой Елене Евгеньевне. Удачи, тебе на экзаменах.

Александр (админ)
15 ноября 2017
Отлично, Алевтина! Спасибо!

кыса
15 ноября 2017
шыкарнае обясненее. я сразу всё понила.

Александр (админ)
15 ноября 2017
СпасЫбо, Кыса! ))

БезгрАмАдный Оркадий
22 ноября 2017
шЫкарнА длА пАвтАрения перИт кАнтрольнАй))) А если нормально, но действительно годная теория))

Оликсандэр (админ)
23 ноября 2017
«Паффтарения» пишыца чириc дфа фэ… Спасибо! :))

Ирина
23 ноября 2017
СПАСИИИИБОО. 10 лет назад закончила учебу, а сейчас понадобилась математика вновь. Очень доходчиво и легко пишете. Огромное спасибо!

Александр
23 ноября 2017
Ничего себе! Через 10 лет понадобилась школьная математика? Мы рады, что помогло, Ирина.

Александр (админ)
23 ноября 2017
Ксения, спасибо и тебе! Удачи на экзаменах!

сара
28 ноября 2017
спасибо…

Александр (админ)
28 ноября 2017
Пожалуйста, Сара!

28 ноября 2017
Благодарю:3 Очень помогло! Я не поняла корни на уроке, а тут просто и четко объяснили! Спасибо огромное)

Александр (админ)
28 ноября 2017
Очень рады, что помогло! Теперь если что не понятно, ты знаешь где искать простое и четкое объяснение 🙂 На youclever )

Нина
30 ноября 2017
Спасибо огромное! Думала репетитора придётся нанимать. Молодцы всё очень понятно.

Александр (админ)
30 ноября 2017
Пожалуйста, Нина. Очень приятно слышать такую оценку… но если захотите все-таки нанимать репетитора, посмотрите сначала наши курсы на 100gia.ru… Пишите )

Арсений
01 декабря 2017
Очень помогла теория и тут же закрепила практикой. Спасибо за понятную теорию!

Александр (админ)
01 декабря 2017
Рады слышать… Пожалуйста… (не знаю как обращаться, Арсений?). А где закрепляла практикой? Здесь же в учебнике? Или где-то еще. Вопрос не праздный… Очень надо знать.

Илья
08 декабря 2017
Всё очень понятно, но здесь к сожалению нет примеров, с которыми у меня возникают трудности: это когда под корнем ещё один корень( а под ним может быть ещё один, и т.д.).

Александр (админ)
10 декабря 2017
Илья, замечание принято. К сожалению мы не успеваем учитывать все, но вот какое объяснение я нашел на стороннем ресурсе. Может будет понятно… https://www.youtube.com/watch?v=5rntedrQ7NY

Алик
10 декабря 2017
Спасибо! За 10 минут я понял всю тему чем за 45 минут урока….

Александр (админ)
10 декабря 2017
Алик, как приятно слышать! Мы, вся команда, математики, консультанты, администраторы именно этого и добивались, чтобы было понятно за 10 минут. Удачи на экзаменах!)

Полина
12 декабря 2017
Очень доходчиво! Буду надеяться что сдам конторошку… Кстати не знаю нужно это вам или нет, НО мы сейчас час проходим такие примеры: Под корнем 17 в степени 2 минус 8 в степени 2(это на пример) В общем я думаю вам бы понадобилось и это записать)

Александр (админ)
12 декабря 2017
Полина, спасибо! Лучики тепла тебе и удачи ни контрошке… Может быть тебе будет интересно… у нас на 100gia.ru есть возможность за небольшие деньги купить «Тренировку по теме». Там по каждой теме много задач, с решениями и ответами моментальными и с объяснениями. Как раз чтобы подготовиться к конкретной контрошке (хорошее слово, кстати) 🙂

Алексей Шевчук
20 декабря 2017
Полина, посмотри в теме «Формулы сокращённого умножения» — разность квадратов: https://youclever.org/book/formuly-sokrashhennogo-umnozheniya-1#raznost-kvadratov

Юлька
19 декабря 2017
А про построение графиков с арифметическими корнями, если они возводятся в квадрат. y=(√x+3)^2+(√5-x)^2 при x>5 корень над всем выражением в скобках

Алексей Шевчук
21 декабря 2017
Юля, если корень возводится в квадрат, нужно написать ОДЗ и убрать корни вместе с квадратами. Если же это корень из квадрата выражения (то есть квадрат под корнем), то он превращается в модуль выражения.

Алла
22 декабря 2017
И все же. если в примере стоит корень из 64, то в ответе надо писать 8 или + — 8?

Сергей
18 января 2018
Ответьте мне пожалуйста на 1 вопрос. Зачем он нужен этот квадратный корень? Я начинающий программист в школе учился хорошо, сейчас для общего развития решаю задачки со всякими алгоритмами в том числе с квадратным корнем. Чем умнее я становлюсь тем больше убеждаюсь что вся эта муть простому человеку нафиг не нужна ну серьёзно. Чтобы делать сайты не нужно быть математиком, я уже не говорю про гуманитариев, которые даже таблицу умножения могут не помнить уже. Так зачем всё это нужно?

Александр (админ)
18 января 2018
Хороший вопрос, Сергей ). По мне, так вопрос «Зачем?» самый важный и интересный. В особенности в математике. Ответ есть в нашем тексте. Почитайте внимательно. Математики люди ленивые и потому сообразительные. Чтобы записывать иррациональные числа более простым способом ввели понятие квадратного корня. Вот и все.

RedTea01
20 февраля 2018
Админ, спасибо за помощь)))

Александр (админ)
20 февраля 2018
Всегда рад! 🙂

Егор
21 февраля 2018
В школе ничего не понял, зашел на сайт и разобрал темы на 3 урока вперед. Спасибо вам, доходчиво и с подробными объяснениями.

Александр (админ)
21 февраля 2018
Егор, вот ради таких комментариев мы и работаем. ОЧЕНЬ приятно слышать всей нашей команде!

Александр
12 марта 2018
О как! Светлана, здравствуйте! Очень приятно слышать! Удачи Вашей внучке на экзаменах! )

Семён
13 мая 2018
А мне 77 лет. С удовольствием заполняю досуг, благо свободного времени хватает. И такое удовольствие получаю. Вот бы так учили в мои школьные годы. Израиль

Александр (админ)
13 мая 2018
Вот это комментарий. Семен, это ОЧЕНЬ приятно слышать. У нас были сомнения о том, как писать учебник: как обычно или «человеческим» языком. Видимо мы нашли правильный способ подачи материала. Спасибо Вам и отличного времяпровождения )

Александр
14 марта 2018
Ребята Огромное спасибо, я после армии, нужно сдать экзамен)) вы очень помогли.

Александр (админ)
14 марта 2018
Привет, Александр. Приятно слышать. Сам через это проходил: сдавал вступительные экзамены в институт (тогда ЕГЭ не было) после армии. Это очень трудно. Удачи на экзаменах.

Евгения
04 мая 2018
Спасибо огромное! Всё очень понятно и даже увлекательно) Кажется я начинаю любить математику:З

Александр (админ)
04 мая 2018
Ого! Евгения, это то, на что даже мы не рассчитывали! 🙂 На самом деле очень приятно… Удачи тебе с математикой. Она не такая и страшная, правда ведь? )

Шерзод
01 ноября 2018
Добрый день! Есть вопросы?

Александр (админ)
05 ноября 2018
Сергей, спасибо Вам! Очень ценно для нас слышать такие отзывы. Мы старались написать программу так, чтобы люди без подготовки и без знаний математики смогли ее понять. Удачи Вам и Вашему внуку.

Александр (админ)
02 декабря 2018
Спасибо, Рам!

лол
17 января 2019
Спосыба аграмнае, очинь панятна

Александр (админ)
17 января 2019
Пажылуста ни мение агромнае!

SpaceJumpsuit
03 февраля 2019
Я уже 2 года учусь только по вашему сайту, ибо школа нормально ничего не объясняет. Снимаю шляпу перед YouClever… Спасибо, спасибо, спасибо.

Александр (админ)
03 февраля 2019
Вау. Вот это да! Очень! Очень приятно!

Алина
11 февраля 2019
Сайт-офигенный, вот реально, всё понятно, мне оч нравится, спасибо Вам большое от души

Александр (админ)
11 февраля 2019
Алина, спасибо огромное! Лучики тепла тебе!))

Алексей
11 февраля 2019
Геннадий, это хороший вопрос, который в рамках школьной программы, к сожалению, не разбирается. Вы можете посмотреть ответ на подобный вопрос в этом видео: https://www.youtube.com/watch?v=w9wPMMapKIQ

Сергей
19 февраля 2019
Ваш сайт единственный который смог достучаться до меня (в плане алгебры).

Александр (админ)
19 февраля 2019
Это очень… приятно слышать, Сергей. Удачи, на экзамене!

Викп
20 февраля 2019
Спасибо огромное за теорию. Очень понятно и доходчиво написано, разобрала все за минут 40-50

Александр (админ)
20 февраля 2019
Спасибо, Викп! Была бы у меня возможность ставить смайлики, поставил бы довольную рожицу! 🙂

Павел
26 февраля 2019
Спасибо большое, все понял…почти. Вы написали что для того что бы вычислить квадратный корень из большого числа нужно разложить его на множители но как например разложить на множители такие крупные числа как 11234 3345 и т.д если таблицы квадратов на экзамене не будет+ очень трудно будет ее запомнить с11по 99)). Есть совет как быстро разложить такие большие числа на множители?

Александр (админ)
27 февраля 2019
Спасибо, Павел. Если коротко, то нужно знать две вещи: 1) что такое простое число 2) признаки делимости чисел(наизусть) и затем делить большое число на наименьший простой делитель (кроме единицы) без остатка, в столбик, до тех пор пока не останется 1. В вашем примере, используя признаки делимости определяем на какое наименьшее простое число делится 112 343 345. На 2? Нет. На 3? Сумма цифр числа не делится на 3. Значит нет. На 5? Да! Делим на 5 в столбик и получаем 22 468 669…. Опять вспоминаем признаки делимости. На какое наименьшее простое число делится уже новое число? И вот тут интересно…оно не делится без остатка ни на одно простое число. Это мы определяем по признакам делимости. Значит оно само — уже простое число. Мы можем разделить его только на 1 или на само себя. Вот мы и разложили ваше большое число на два множителя: 5 и 22 468 669…. Если я нигде не ошибся )) Ну, думаю, идею вы поняли. Признаки делимости можно посмотреть здесь: https://youclever.org/book/razlozhenie-na-mnozhiteli-2 Их надо выучить назубок.

Александр (админ)
27 февраля 2019
Павел, вот здесь наглядно очень про то, как раскладывать на множители большие числа: https://ru.wikihow.com/разложить-число-на-множители

Игорь
17 марта 2019
Спасибо коллективу авторов и участникам проекта! Понятное объяснение на примерах!

Александр (админ)
17 марта 2019
Приятно слышать, Игорь!

Александр (админ)
27 марта 2019
К сожалению нет. Но идея хорошая. Может быть прикрутим редактор к коментариям.

Сергей
15 апреля 2019
Очень жаль, что не читаете комментарий. В тексте написано: «присвоили ему специальный символ √.» Было предложено дописать: «присвоили ему специальный символ √(радикал).» Это, что ухудшит текст?

Александр (админ)
15 апреля 2019
Сергей, я прочитал комментарий, но не понял, что это было предложение ). Не обижайтесь, но я его не принял. Мы старались облегчить тексты для понимания. Если дать сразу все определения слова «радикал» — это не поможет разобраться, наоборот запутает. Ведь тогда надо говорить, что радикал — это еще и значение числа, извлекаемого из квадратного корня, а так же значение выражения извлекаемого из квадратного корня, что это «не тот радикал, что бросает бомбы», ну и так далее. Определение символа добавляет не много смысла, но утяжеляет текст и отвлекает от основного понятия. На мой взгляд учебники математики для школьников этим грешат: даются сразу все определения, причем строгие… Но так никто не учится. В том числе и те, кто пишет эти учебники. Их учили не так. Им в детстве вводили понятия не сразу все, а последовательно и давали возможность встроить понятия в свою картину мира, своими словами. А уж потом давали строгие определения… В общем без обид :)) Я не буду перегружать текст.

Сергей
15 апреля 2019

прочитал комментарий, но не понял, что это было предложение ).

Александр (админ)
30 мая 2019
Сергей, спасибо еще раз за предложение сделать html код. Дай бог дойдут руки… Но предложение правда хорошее. По сути предмета — я не математик ) Эти лекции писал не я.

Даня
30 мая 2019
спасибо за информацию. без нее я бы не написал реферат и не получил бы итоговую

Александр Кель (админ)
30 мая 2019
Даня! Приятно слышать! Мои поздравления с итоговой оценкой! Так держать! 🙂

Anubis
07 июня 2019
Ужасный сайт всё платное плохо всё расписано просто —

Александр (админ)
12 июня 2019
Anubis, а что конкретно «плохо расписано»? По поводу платности контента. Для меня весь контент сайта платный. Мне пришлось заплатить математикам, которые его писали, довольно приличную сумму. А для пользователей сайта 90% конетнта бесплатно. Вы разве не заметили? За оставшиеся 10% я беру деньги и они идут на поддержание сайта. Кстати, Anubi, не хотите бесплатно поработать над созданием контента или еще над чем-нибудь для сайта? Что вы умеете? Работы много…

Алексей Шевчук
30 июня 2019
Александр, корень из числа имеет только один вариант ответа (в рамках действительных чисел — комплексных чисел в школьной программе нет, а если даже есть, то в условии задачи явно говорят, что комплексные корни нас тоже интересуют). Два варианта ответа возникает не при извлечении корня и не при решении иррациональных уравнений, а при решении квадратных уравнений, то есть тех, где неизвестная была в квадрате, а не под корнем.

Дима
19 июня 2019
Спасибо огромное за помощь в математике

Александр (админ)
20 июня 2019
Дима, рады, что смогли помочь. Удачи на всех экзаменах!

Ирина
19 июня 2019
Можете пожалуйста на вопрос. Вот корень из х^2+1 можно разложить на 2 корня? Корень из х^2 + корень из 1?

Александр (админ)
20 июня 2019
Нет, Ирина, так нельзя делать. Смотри, как только ты видишь «икс в квадрате» перед тобой квадратное уравнение. Твое уравнение квадратное. Но оно неполное, потому что нет еще одного икса… Вот как решаются неполные квадратные уравнения. Посмотри это видео вдумчиво,. с паузами и ты все поймешь. https://www.youtube.com/watch?v=CtgP34y-uOI

Вадик 5,5лет детский садик нумер 8
03 июля 2019
Очинь панравился

Александр (пдмин)
03 июля 2019
Какой молодец, Вадик! Такие взрослые книги читаешь в 5,5 лет!

Я
16 июля 2019
Посмотрим-посмотрим

Ирина
16 августа 2019
В какой последовательности решается 8÷3√5

Алексей Шевчук
17 августа 2019
Ирина, а что именно нужно решить? Предположу, что избавиться от иррациональности в знаменателе, тогда нужно числитель и знаменатель домножить на √5. Тогда два корня в знаменателе дадут просто 5, и останется 8√5÷15 (корень переехал в числитель).

Огрызок Яблока
21 октября 2019
Нормальный такой сайт. Не, ну реально бОмБа)))0), а админи какие добрые. Даже такой овощь как я понял, моё увожение

Александр (админ)
21 октября 2019
Круто, уважаемый Огрызок Яблока. Я, например, очень жалею, что в мое время такого сайта не было. Спасибо и удачи!

Сергей
09 ноября 2019
Почему в блоке Возведение в степень, у вас в 1 задании √(−3)^2 а должно же быть неотрицательным.

Алексей Шевчук
09 ноября 2019
Сергей, (−3)^2=9 — число положительное. Квадрат всё делает положительным. Но нужно быть внимательным: если квадрат за пределами корня, то его магия уже не работает: (√(−3))^2 — здесь мы сначала пытаемся извлечь корень из (-3) и всё ломается.

Диля
10 ноября 2019
Спасибо большое, всё понятно и простым языком.

Александр (админ)
10 ноября 2019
Спасибо, Диля, от меня и Алексея Шевчука. Рады, что понравился текст.

Хадижат
26 ноября 2019
Спасибо, всё объяснили всё поняла

Александр (admin)
26 ноября 2019
Пожалуйста, Хадижат! Успехов!

Ася
26 ноября 2019
Спасибо большое! Вы ОЧЕНЬ помогли! Я на больничном, поэтому такую важную тему пропустила, а догонять как-то надо и вот случайно зашла на ваш сайт!

Александр (админ)
26 ноября 2019
Ася, выздоравливай скорее! И спасибо тебе за теплые слова. Нам очень всем приятно. Надеемся, что эта тема в нашем учебнике улучшила тебе самочувствие во время болезни. Удачи на экзаменах!

Ирина
02 декабря 2019
все хорошо, но не написали как решать такие примеры: 9-корень из 21 (нет знака корень на клавиатуре)

Алексей Шевчук
03 декабря 2019
Ирина, это тема «Квадратный корень» — то есть (по определению) корень степени 2. Если Вам нужны корни более высокой степени, добро пожаловать в тему «Степень и её свойства»: https://youclever.org/book/stepen-i-ee-svojstva-1 — ищите там раздел «степень с рациональным показателем».

Максим
15 декабря 2019
Спасибо вам огромное! Я в 6 классе, но мне очень интересно как вычислить корень у того или иного числа! Срасибо еще раз! Вы для меня прямо открыли целый мир алгебры!)

Александр (админ)
15 декабря 2019
Очень приятно слышать, Максим! Ты большой молодец, что в 6-и классе читаешь учебники, предназначенные для 8-го — 11-го класса!

лера
17 декабря 2019
статья чупер алгебра легко дается спасибо)))) а у вас есть формулы сокращенного умножения?

Александр (админ)
17 декабря 2019
Конечно, есть, Лера. Все темы математики для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ есть. В сокращенном варианте бесплатно и в полном варианте для учеников YouClever. Но я советую тебе зарегистрироваться на сайте, через пункт меню «Войти» и у тебя будет доступ к 5 темам математики в полном варианте бесплатно. Одна из тем — темы сокращенного умножения. Там есть все что нужно, чтобы разобраться. Даже примеры для тренировки.

Кирилл
20 марта 2020
Спасибо очень помогли!

Александр (админ)
20 марта 2020
Пожалуйста, Кирилл! Удачи на экзамене!

Матвей
26 марта 2020
Спасибо,но хотелось бы увидеть по больше примеров,а так,информация довольно понятна даже таким как я.

Александр (админ)
26 марта 2020
Пожалуйста, Матвей. Хорошо, что во всем разобрался. Приходи еще)

Ильнара
04 апреля 2020
Спасибо вам, наконец я поняла эту тему. Ураа

Александр (админ)
04 апреля 2020
Ильнара, ты умница! Удачи тебе на всех жизненных экзаменах!

даня
16 апреля 2020
спасибо хорошее объяснениие у меня во фторник был экзамен и мне эта тема пригадилась

Александр (админ)
16 апреля 2020
Спасибо, Даня! Рады, что ты справился с экзаменом.

Тоха
16 июня 2020
сайт просто топ) спасибо)))))))))))))))))))))))))) сдал еге на чистую 5)))))))))))))))))) спасибо)))))))))))))))))

Алексей Шевчук
23 июня 2020
Ну а что там вспоминать. 1) Чему равен корень из 1600? Умножаем это на 0,5. 2) Чему равен корень из 36? Умножаем на 1/3. Потом вычитаем из первого второе.

В этом комментарии я собрал отзывы о нашей работе за разные годы:

Люба, 13 ноября 2017
спасибо огромное очень помогли

Александр (админ)
15 ноября 2017
Отлично, Алевтина! Спасибо!

кыса
15 ноября 2017
шыкарнае обясненее. я сразу всё понила.

Нина
30 ноября 2017
Спасибо огромное! Думала репетитора придётся нанимать. Молодцы всё очень понятно.

Арсений
01 декабря 2017
Очень помогла теория и тут же закрепила практикой. Спасибо за понятную теорию!

Алик
10 декабря 2017
Спасибо! За 10 минут я понял всю тему чем за 45 минут урока….

Полина
12 декабря 2017
Очень доходчиво! Буду надеяться что сдам конторошку…

Александр
11 февраля 2018
Здравствуйте! Очень много полезной информации! СПАСИБО!

RedTea01
20 февраля 2018
Админ, спасибо за помощь)))

Александр
14 марта 2018
Ребята Огромное спасибо, я после армии, нужно сдать экзамен)) вы очень помогли.

Евгения
04 мая 2018
Спасибо огромное! Всё очень понятно и даже увлекательно) Кажется я начинаю любить математику

лол
17 января 2019
Спосыба аграмнае, очинь панятна

Алина
11 февраля 2019
Сайт-офигенный, вот реально, всё понятно, мне оч нравится, спасибо Вам большое от души

Сергей
19 февраля 2019
Ваш сайт единственный который смог достучаться до меня (в плане алгебры).

Викп
20 февраля 2019
Спасибо огромное за теорию. Очень понятно и доходчиво написано, разобрала все за минут 40-50

Игорь
17 марта 2019
Спасибо коллективу авторов и участникам проекта! Понятное объяснение на примерах!

Даня
30 мая 2019
спасибо за информацию. без нее я бы не написал реферат и не получил бы итоговую

Дима
19 июня 2019
Спасибо огромное за помощь в математике

Диля
10 ноября 2019
Спасибо большое, всё понятно и простым языком.

Хадижат
26 ноября 2019
Спасибо, всё объяснили всё поняла

лера
17 декабря 2019
статья чупер алгебра легко дается спасибо)))) а у вас есть формулы сокращенного умножения?

Кирилл
20 марта 2020
Спасибо очень помогли!

Ильнара
04 апреля 2020
Спасибо вам, наконец я поняла эту тему. Ураа

даня
16 апреля 2020
спасибо хорошее объяснениие у меня во фторник был экзамен и мне эта тема пригадилась

Тоха
16 июня 2020
сайт просто топ) спасибо)))))))))))))))))))))))))) сдал еге на чистую 5)))))))))))))))))) спасибо)))))))))))))))))

Источник