Как упростить корень со степенью

Упрощение выражений, содержащих корни и степени

При упрощении выражений, содержащих корни и степени, прежде чем воспользоваться свойствами степени, полезно совершить такие предварительные действия:

1. Записать корни в виде степени. Для этого нужно воспользоваться следующим свойством:

2. Десятичную дробь записать в виде обыкновенной.

Например:

3. Смешанные числа записать в виде неправильных дробей.

Например:

4. Разложить основания степеней на простые множители. Или, по крайней мере, разложить на множители так, чтобы количество различных оснований было минимальным.

Запишем корни в виде степени и воспользуемся свойствами степеней с одинаковым основанием:

Ответ: 1.

Разложим число 10 в знаменателе дроби на простые множители и воспользуемся свойствами степеней:

Ответ: 5.

Представим число 0,8 в виде обыкновенной дроби, разложим число 20 на множители и воспользуемся свойствами степеней:

Ответ: 20.

Разложим число 42 на множители и воспользуемся свойствами степеней.

Ответ: 42.

1. Запишем корни в виде степени:

2. Воспользуемся свойствами степени, получим:

Источник

Корень и его свойства

Тема в математике «Корень и его свойства» нередко вызывает затруднения у школьников, особенно при решении примеров. В данной статье описаны основные свойства корней, а также правила сложения, вычитания, умножения и деления. Наглядные примеры помогаю понять, как решать задания с корнями.

Определение «Корень»

Корень второй степени (квадратный корень) из числа a — это число, которое становится равным a, если число a возвести во вторую степень (в квадрат).
Например, √ 64 = 8 (√ 64 равно числу 8).

Формула: √ a 2 = a

Число, стоящее под знаком корня, называется подкоренным числом. Если под знаком корня стоит целое выражение, то его называют подкоренным выражением.
Свойство квадратного корня: для действительных чисел не существует квадратный корень из отрицательного числа, так как возведение числа в квадрат будет всегда неотрицательным числом.

Извлечение корней: примеры

Найти корень из числа можно одним из следующих способов:

Приведение корней с разными показателями

Для того, чтобы упростить выражение с корнями, которое содержит корни разных степеней, необходимо привести все корни к одной степени.

Например, есть квадратный корень (второй степени √ 2 ) и кубический корень (третьей степени 3 √ 3 ).
Во-первых, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) для степеней. В нашем примере НОК=6 (2х3).
Во-вторых, применим свойство a = n √ a n : √ 2 = 2 √ 2 = 6 √ 2 3 = 6 √ 8 ; 3 √ 3 = 6 √ 3 2 = 6 √ 9
Получилось два корня одинаковой степени, с которыми можно совершать различные математические действия.

Корень: сложение и вычитание корней

Основное правила сложения и вычитания квадратных корней: сложение и вычитание квадратного корня возможны только при условии одинакового подкоренного выражения.

Примеры:
2√ 3 + 3√ 3 = 5√ 3
2√ 3 + 2√ 4 – не выполняется.

Алгоритм действия:
1. Упростить подкоренное выражение путем разложения на простые множители.
2. Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня.
3. После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
4. У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!

Корень: умножение

Умножение корней без множителей

Произведение корней из чисел равно корню из произведения этих чисел.
√ a*b =√ a *√ b
Важно: между собой можно умножать только одинаковые степени корней, то есть можно умножить один квадратный корень на другой, но нельзя умножить квадратный корень на корень кубической степени.
Примеры:
√ 2 х √ 3 = √ 6
√ 6 х √ 3 = √ 18 = √ 3х3х2 = 3√ 2

Умножение корней с множителями

При умножении корней с множителями нужно отдельно перемножить множители и подкорневые выражения (числа). Подкорневые числа можно перемножать между собой только в том случае, если они имеют одинаковые степени (см. умножение корней без множителей). В случае отсутствия множителя, он равен единице.
Примеры:
3√ 2 х √ 5 = (3х1) √ (2*5) = 3√ 10
4√ 2 х 3√ 3 = (3х4) √ (2х3) = 12√ 6

Корень: деление

Основной правило деления — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители.
√ a:b =√ a :√ b
В процессе деления квадратных корней дроби упрощаются.

Деление корней без множителей

Частное корней из чисел равно корню из частного этих чисел.
Важно: между собой можно делить только одинаковые степени корней, то есть можно делить один квадратный корень на другой, но нельзя делить квадратный корень на корень кубической степени.
Пример. √ 21 :√ 3 =√ 21:3 =√ 7

Деление квадратных корней с множителями

Примеры для практики

Чтобы попрактиковаться решать примеры на вычисление квадратный корней, можно скачать программу «Корни квадратные«

Источник

Перевод корней в степени и обратно: объяснение, примеры

Часто преобразование и упрощение математических выражений требует перехода от корней к степеням и наоборот. Данная статья рассказывает о том, как осуществлять перевод корня в степень и обратно. Рассматривается теория, практические примеры и наиболее распространенные ошибки.

Переход от степеней с дробными показателями к корням

Ответ вытекает из самого определения степени!

При этом, обязательно должно выполнятся условие:

Дробная степень числа нуль определяется аналогично, однако в этом случае число m принимается не целым, а натуральным, чтобы не возникло деления на 0 :

Как представить корень в виде степени?

Обратная замена корней степенями, когда вместо выражения с корнем записывается выражения со степенью, также возможна. Просто перевернем равенство из предыдущего пункта и получим:

Можно ли вообще преобразовать такие выражения со степенями? Да, если произвести некоторые предварительные преобразования. Рассмотрим, какие.

В случае с корнем нечетной степени из отрицательного числа, можно записать:

Разберемся теперь, как корни, под которыми содержатся выражения, заменяются на степени, содержащие эти выражения в основании.

Таким образом, в рассмотренном примере преобразование вида A m n = A m n является преобразованием, сужающим ОДЗ, а из-за неаккуратного применения формулы A m n = A m n нередко возникают ошибки.

Сведем все эти правила в таблицу и приведем несколько примеров их использования.

Приведем еще один пример с корнями и степенями.

Пример. Перевод корня в степень

Источник

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Читайте также: коды для стендофф хаб

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Решение

Представим число 9 как степень 3 2 и применим формулу сокращенного умножения:

А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений.

Работа с основанием и показателем степени

Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

Использование свойств степеней

Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

Решение

Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

Решение

Есть еще один способ провести преобразования:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · ( 3 · 7 ) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

Ответ: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

Решение

Преобразование дробей, содержащих степени

Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

Решение

Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

Решение

б) Обратим внимание на знаменатель:

Решение

б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

Решение

Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

Теперь умножаем дроби:

Преобразование выражений с корнями и степенями

В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

Представьте выражение x 1 9 · x · x 3 6 в виде степени.

Решение

На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 · x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Преобразование степеней с переменными в показателе

Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

Преобразование выражений со степенями и логарифмами

Источник

Преобразование иррациональных выражений в математике с примерами решения и образцами выполнения

Иррациональными выражениями называют выражения, содержащие операцию извлечения корня. Другими словами, иррациональные выражения – это выражения с радикалами (выражения, содержащие в своей записи знаки корня).

Арифметический корень и его свойства

Определение арифметического корня: Пусть а—действительное число, a n — натуральное число, большее единицы. Поставим перед собой задачу: найти число х, такое, чтобы выполнялось равенство

Сначала рассмотрим конкретные примеры.

тогда равенство (1) принимает вид: откуда

тогда равенство (1) принимает вид: что не выполняется ни при каком действительном значении х;

тогда равенство (1) принимает вид: откуда

Эти примеры показывают, что поставленная задача при четном имеет два решения, при нечетном n —одно решение, при четном ни одного решения.

Если задача имеет решение, т. е. равенство выполняется при некоторых значениях х, то эти значения x называются корнями n-й степени из числа а итак корень n-й степени из числа а—это такое число, n-я степень которого равна а.

Рассмотрим случай отыскания корня n-й степени из неотрицательного числа. Можно доказать, что если и то существует и только одно неотрицательное число х, такое, что (доказательство проводится в курсе высшей математики; представление об этом доказательстве будет дано в следующей главе).

Арифметическим корнем n-й степени из положительного числа а называется такое положительное число, n-я степень которого равна а.

Для арифметического корня n-й степени из числа а принято обозначение Число а называется подкоренным числом или подкоренным выражением, n- показатель корня. Если то обычно не пишут а пишут просто и называют это выражение квадратным корнем. Часто вместо термина «корень» используется термин «радикал».

Согласно определению запись где означает, во-первых, что и, во-вторых, что т. е. Например,

Полагают также

Обратим внимание читателя на то, что, например,

Свойства арифметических корней

Условимся прежде всего о следующем: все переменные, которые встречаются в формулировках свойств и в примерах, рассматриваемых в настоящем и следующем пунктах, будем считать принимающими только неотрицательные значения. Кроме того, мы рассматриваем только арифметические корни, а потому каждый раз специально подчеркивать это не будем. Значит, мы будем писать: «корень n-й степени из неотрицательного числа», а читатель должен понимать, что речь идет об арифметическом корне.

1°. Корень n-й степени из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел, т. е.

Доказательство:

Мы знаем, что это такое неотрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает подкоренное выражение ab. Ясно, что — неотрицательное число. Значит, если мы покажем, что то это и будет обозначать, что

Итак, рассмотрим выражение По свойству 1° степени с натуральным показателем (стр. 45) имеем

Так как то получаем

Пример. Вычислить

Решение. По свойству 1° имеем

2°. Корень n-й степени из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя, т. е.

Пример:

Доказательство этого свойства аналогично доказательству свойства 1°.

3°. Чтобы возвести корень n-й степени в натуральную степень k, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение и из полученного результата извлечь корень n-й степени, т. е.

Пример:

Доказательство:

По определению корня это такое неотрицательное число, которое, будучи возведено в n-ю степень, дает Поэтому нам достаточно показать, что

По свойству 3° степени с натуральным показателем (стр. 45) имеем

Так как то получаем т. е.

4°. Чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить показатели корней, а подкоренное выражение оставить без изменения, т. е.

Пример:

Доказательство:

значит,

5°. Если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится, т. е.

Пример:

Доказательство:

По определению корня это такое неотрицательное число, которое, будучи возведено в степень mn дает Значит, достаточно показать, что

По свойству 3° степени с натуральным показателем имеем

Значит,

Примеры:

Извлечь корень из произведения:

Решение:

а) Применив свойство 1° арифметических корней, получим:

Напомним, что мы в начале рассматриваемого пункта условились считать все переменные принимающими только неотрицательные значения. Не будь этого соглашения, мы не имели бы права писать так как при это неверно; то же относится и к равенству

2. Извлечь корень из дроби

Решение:

а) Обратим смешанное число в неправильную дробь: свойству 2° получаем

б) воспользовавшись свойствами 2° и 1°, получим

3.Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

а) Представим подкоренное выражение в виде и применим к полученному произведению свойство 1° арифметических дробей:

Такое преобразование называется вынесением множителя из-под знака корня. Цель преобразования —упрощение подкоренного выражения;

В некоторых случаях оказывается полезным преобразование, в определенном смысле обратное только что рассмотренному, а именно: внесение множителя под знак корня. Пусть, например, нужно выяснить, какое из чисел больше: или Рассмотрим число Внесем множитель 2 под знак корня —это достигается с помощью следующего преобразования:

Сделаем аналогичное преобразование числа

Так как

4.Ввести множитель под знак корня:

Решение:

В рассмотренных примерах мы пользовались только определением корня и свойствами 1° и 2°. Рассмотрим теперь примеры использования свойств 3° и 4°.

Решение:

а) По свойству 3° имеем

Обычно стараются подкоренное выражение упростить, для чего выносят множители за знак корня. Имеем:

6.Выполнить действия:

Решение:

а) По свойству 4° арифметических корней имеем

б) преобразуем выражение внеся множитель под знак корня:

Далее имеем

Рассмотрим, наконец, примеры, в которых используется свойство 5°.

Решение:

а) По свойству 5° мы имеем право показатель корня и показатель степени подкоренного выражения разделить на одно и то же натуральное число. Если в рассматриваемом примере разделить указанные показатели на 3, то получим

8.Упростить выражения:

Решение:

а) Из свойства 1° получаем, что для перемножения корней одной и той же степени достаточно перемножить подкоренные выражения, из полученного результата извлечь корень той же степени; значит,

в) выше мы видели, как перемножить корни одной и той же степени. В данном же примере требуется перемножить корни с различными показателями. Значит, прежде всего мы должны привести радикалы к одному показателю. Согласно свойству 5°, можно показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить на одно и то же натуральное число; поэтому

А теперь разделим в полученном результате показатели корня и подкоренного выражения на 3:

г) приведем радикалы к одному показателю. Для этого, очевидно, нужно найти наименьшее общее кратное чисел 10 и 15; Значит, нам нужно показатели корня и степени подкоренного выражения для первого из перемножаемых радикалов умножить на 3, а для второго—на 2; получим

д) НОК чисел 4, 6, 10 равно 60, поэтому приведем все радикалы к показателю 60:

Тождество

Ответим на такой вопрос: если переменная а принимает как неотрицательные, так и отрицательные значения, то чему равен

Если Но значит можно считать, что при справедливо равенство

Если и речь, следовательно, идет об арифметическом корне второй степени из положительного числа Здесь могут представиться два случая: Если например, Если же то например,

Итак, можно записать, что

Но точно так же определяется модуль действительного числа

Таким образом, Например,

Вообще, если n — четное число, т.е. то

Так, если в рассмотренных примерах 1, а) и б) снять требование неотрицательности значений переменных, то решение примера выглядело бы следующим образом:

Дополнительные замечания о свойствах радикалов

Рассмотренные пять свойств арифметических корней, т. е. пять свойств радикалов безоговорочно верны для неотрицательных подкоренных выражений. Но при решении примеров на действия с радикалами нужно иметь в виду возможность отрицательных значений переменных, содержащихся под знаками радикалов.

Пусть а и b — отрицательные числа, а n — четное число. В этом случае написать нельзя, так как правая часть такого «равенства» не имеет смысла (например, нельзя написать Здесь можно рассуждать так: а и b—отрицательные числа, следовательно, Но тогда значит,

Так как то, применив свойство 1° арифметических корней, получим

Итак, если n —четное число, а числа а и b имеют одинаковые знаки, то

Очень внимательно следует относиться к свойству 5°. Пусть, например, нужно упростить выражение Если разделить показатели корня и подкоренного выражения на 2, то придем к выражению не имеющему смысла, так как под корнем четной степени содержится отрицательное число. Верное равенство в данном случае выглядит так:

В самом деле, и, следовательно,

Обобщение понятия о показателе степени

Постановка задачи: Напомним определение степени с натуральным показателем и ее свойства.

Определение

Основные свойства степени

В последующих пунктах речь пойдет об определениях степени с любым рациональным показателем.

Сначала мы определим степень с положительным дробным показателем, далее степень с нулевым показателем и затем степень с отрицательным рациональным показателем. Ясно, что ни на один из этих случаев не переносится данное выше определение, например нельзя определить как произведение числа а самого на себя 3/5 раза. Поэтому каждый раз придется вводить новое определение. При выборе нового определения мы будем руководствоваться требованием, чтобы на новый случай степени распространялись свойства, аналогичные свойствам 1°—5°, перечисленным выше.

Степень с положительным дробным показателем

Пусть Надо определить так, чтобы выполнялось, например, равенство т. е. чтобы при возведении степени в степень показатели перемножались. Но это равенство возможно лишь в случае, когда Возникает вполне естественная мысль: определить Но будет ли такое определение удачным, т. е. будут ли при таком определении выполняться свойства, аналогичные свойствам 1°—5°? Проверим это.

Доказательство. Согласно предложенному определению степени с положительным дробным показателем имеем: Значит, Воспользовавшись свойствами радикалов, приведем радикалы к одному показателю и выполним умножение:

Далее имеем значит,

Доказательство:

Воспользуемся свойствами возведения радикала в степень и извлечения корня из корня:

Аналогично можно показать, что будут выполняться свойства:

Итак, при предложенном определении степени с положительным дробным показателем основные свойства степени выполнены. Значит, определение удачно и его можно принять.

Определение:

Если

Например, так как так как

На практике при выполнении действий над радикалами довольно часто переходят к дробным показателям.

Примеры:

Выполнить умножение:

Решение:

2.Разложить на множители

Решение:

Степень с нулевым показателем

При выборе определения мы также будем руководствоваться требованием, чтобы на случай степени с нулевым показателем распространялись свойства 1°—5° степени с натуральным показателем (впрочем, теперь мы уже вправе говорить о распространении свойств степени с положительным рациональным показателем). В частности, при умножении степеней с одинаковым основанием показатели должны складываться, т. е. должно выполняться равенство

так как (n—натуральное число). Это равенство при возможно лишь в случае, когда Поэтому возникает мысль определить как 1. Нетрудно проверить, что при таком определении выполняются свойства, аналогичные свойствам 1° — 5° степени с натуральным показателем, значит, определение можно принять.

Определение:

Если

Например,

Степень с отрицательным рациональным показателем

Пусть положительное рациональное число. Надо определить так, чтобы, например, выполнялось равенство

Покажем, например, что

Остальные свойства проверяются аналогично.

Определение:

Если

Например,

Замечание:

Если r—целое число, то полагают а и в случае, когда а Степень с любым рациональным показателем

Мы определили понятие степени с любым рациональным показателем. Эта степень обладает следующими свойствами (мы полагаем а > 0, b > 0, — произвольные рациональные числа):

Заметим, что после введения нулевого и отрицательного показателей мы имеем право в свойстве 2° не делать оговорки, что

Тождественные преобразования иррациональных выражении

Тождественно равные выражения на данном множестве: По определению (стр. 47) тождественно равными выражениями называются такие, у которых все соответственные значения равны. Согласно этому определению выражения и а не являются тождественно равными. Действительно, пусть тогда т. е. равенство не является тождеством.

Однако на множестве всех неотрицательных чисел все соответственные значения выражений и а равны и равенство называют тождеством на этом множестве.

Определение:

Два выражения называются тождественно равными на данном множестве, если на этом множестве они имеют смысл и все их соответственные значения равны.

Например, выражения тождественно равны на множестве Легко видеть, что где TV, — множество, на котором определено выражение множество, на котором определено выражение

Тождественные преобразования иррациональных выражений

Выражение с переменными называется иррациональным, если оно содержит извлечение корня из переменной или возведение переменной в дробную степень.

Тождественные преобразования иррациональных выражений выполняются, как правило, на множестве неотрицательных чисел. Это вытекает из введенных ранее определений. Например, сократим дробь При выражение а — 4 можно представить в виде разности квадратов выражений а затем сократить дробь:

Проделанное нами тождественное преобразование выполнено на множестве неотрицательных чисел, т. е. при В дальнейшем мы будем это подразумевать и специально не оговаривать.

Примеры:

Решение:

Здесь целесообразно применить прием избавления от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на (это выражение называется сопряженным для

Аналогично поступим со второй дробью (теперь выражением, сопряженным для знаменателя, является

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе третьей дроби, умножим числитель и знаменатель этой дроби на

Таким образом, имеем

Решение:

Прежде всего подумаем, нельзя ли сократить первую дробь. Выражение, стоящее в числителе, можно преобразовать так:

Таким образом, последовательное сокращение дробей при тождественных преобразованиях иррациональных выражений обеспечивает достаточную простоту решения. Проиллюстрируем эту мысль еще на одном примере.

Решение:

Попытка привести дроби, стоящие в числителе, к общему знаменателю без предварительных сокращений этих дробей приведет решение к неоправданному усложнению. Поэтому в первую очередь надо сократить эти дроби, а затем произвести указанные действия: