Как умножить восьмеричные числа

Восьмеричный калькулятор онлайн

Калькулятор может производить следующие действия:

Сложение в восьмеричной системе счисления

Сложение двух восьмеричных чисел производится столбиком, как и в десятичной системе, но по следующим правилам:

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

Пример

Для примера сложим 777 и 15:

+	7	7	7
+	1	5
1	0	1	4

Вычитание в восьмеричной системе счисления

Вычитание восьмеричных чисел производится столбиком. Правила вычитания обратны правилам сложения (см. таблицу выше).

Пример

Для примера вычтем из числа 1014 число 777:

–	1	0	1	4
–	7	7	7
1	5

Умножение чисел в восьмеричной системе счисления

Умножение восьмеричных чисел производится в столбик по следующим правилам:

×	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	10	12	14	16
3	3	6	11	14	17	22	25
4	4	10	14	20	24	30	34
5	5	12	17	24	31	36	43
6	6	14	22	30	36	44	52
7	7	16	25	34	43	52	61

Пример

Для примера перемножим числа 777 и 15:

×	7	7	7
×	1	5
+	4	7	7	3
	7	7	7

1	4	7	6	3

Деление чисел в восьмеричной системе счисления

Деление восьмеричных чисел выполняется по тому же принципу, что и деление десятичных, например:

Источник

Восьмеричная арифметика

Все действия в восьмеричной системе счисления производятся аналогично действиям в десятичной системе, только в следующий разряд при сложении переносится на 10, а 8 и из старшего разряда при вычитании занимается тоже не 10, а 8.

Сложить два восьмеричных числа: 127,5₈ и 75,4₈.

Записываем числа одно под другим, учитывая разряды, и начинаем сложение с младшего разряда:

— разряд (-1): 5 + 4 = 9, но т.к. система восьмеричная, то 9 – 8 = 1, т.е. 1 пишем, а 8 переходит в следующий разряд как 1, т.е. 1 запоминаем;

— разряд (0): 7 + 5 = 12 и еще + 1 = 13, 13 – 8 = 5, т.е. 5 пишем, а 8 переходит в следующий разряд как 1, т.е. 1 запоминаем;

— разряд (1): 2 + 7 = 9 и еще + 1 = 10, 10 – 8 = 2, т.е. 2 пишем, 1 запоминаем;

— разряд (2): в нем стоит 1 и + 1 = 2.

7,	5₈
+	5,	4₈
5,	1₈

Даны два восьмеричных числа: 531,4₈ и 73,2₈. Требуется из первого числа вычесть второе.

Записываем числа одно под другим, учитывая разряды, и начинаем вычитание с младшего разряда:

— разряд (0): из 1 не можем отнять 3, поэтому занимаем восьмерку у следующего разряда. При этом в 0-м разряде станет 1 + 8 = 9, а в 1-м разряде останется 3 – 1 = 2. Производим действия в 0-м разряде: 9 – 3 = 6;

— разряд (1): в нем осталось 2, отнять 7 невозможно, поэтому занимаем восьмерку у следующего разряда. При этом в 1-м разряде станет 2 + 8 = 10, а во 2-м разряде останется 5 – 1 = 4. В 1-м разряде: 10 – 7 = 3;

— разряд (2): в нем осталось 4.

1,	4₈
–	3,	2₈
6,	2₈

Умножить восьмеричные числа 27,5₂ × 12,7₂.

Записываем числа одно под другим, равняя по правому краю, как в десятичной арифметике. Производим умножение и сложение, отделяем запятой два знака справа.

Начинаем умножение числа 27,5₈ на 7:

— 5 × 7 = 35 – 32 = 3, т.е. 3 пишем, 4 запоминаем (т.к. 32 / 8 = 4);

— 7 × 7 = 49 + 4 = 53 – 48 = 5, т.е. 5 пишем, 6 запоминаем (т.к. 48 / 8 = 6);

— 2 × 7 = 14 + 6 = 20 – 16 = 4, т.е. 4 пишем, 2 запоминаем (т.к. 16 / 8 = 2);

— в следующем разряде пишем 2.

Аналогично умножаем число 27,5₈ на 2 и на 5, после чего три получившихся числа складываем. Получаем выражение:

Для удобства расчетов можно использовать таблицы сложения и умножения в восьмеричной системе счисления.

Рис. 1. Таблицы сложения и умножения в восьмеричной системе счисления.

Источник

Как умножить восьмеричные числа

» Машины должны работать.

Люди должны думать»

сайт Егоровой Марины Евгеньевны

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами сложения, вычитания и умножения.

Правило выполнения операции сложения одинаково для всех систем счисления: если сумма складываемых цифр больше или равна основанию системы счисления, то единица переносится в следующий слева разряд. При вычитании, если необходимо, делают заем.

Пример 1. Сложить двоичные числа

111 + 101, 10101 + 1111:

Пример 3. Умножить двоичные числа

Аналогично выполняются арифметические действия в восьмеричной, шестнадцатеричной и других системах счисления. При этом необходимо учитывать, что величина переноса в следующий разряд при сложении и заем из старшего разряда при вычитании определяется величиной основания системы счисления.

Арифметические операции в восьмеричной системе счисления

Для представления чисел в восьмеричной системе счисления используются восемь цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), так как основа восьмеричной системы счисления равна 8. Все операции производятся посредством этих восьми цифр. Операции сложения и умножения в восьмеричной системе счисления производятся с помощью следующих таблиц:

Таблицы сложения и умножения в восьмеричной системе счисления

Пример 4. Сложить восьмеричные числа 453 + 671 и 142,63 + 106,71

Пример 6. Умножить восьмеричные числа 51 • 16 и 16,6 • 3,2

Арифметические операции в шестнадцатеричной системе счисления

Для представления чисел в шестнадцатеричной системе счисления используются шестнадцать цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. В шестнадцатеричной системе число шестнадцать пишется как 10. Выполнение арифметических операций в шестнадцатеричной системе производится как и в десятиричной системе, но при выполнении арифметических операций над большими числами необходимо использовать таблицы сложения и умножения чисел в шестнадцатеричной системе счисления.

Таблица сложения в шестнадцатеричной системе счисления

Таблица умножения в шестнадцатеричной системе счисления

Пример 7. Сложить шестнадцатеричные числа

4A3 + 67C и 14D,F3 + 1A6,79

Пример 8. Вычесть шестнадцатеричные числа

Пример 9. Умножить шестнадцатеричные числа

При выполнении арифметических операций над числами, представленными в разных системах счисления, нужно предварительно перевести их в одну и ту же систему счисления.

Источник

Арифметические операции в традиционных системах счисления. Правила преобразования чисел между системами счисления.

Из доказанной в предыдущей лекции теоремы существуют несколько интересных следствий. В частности, о правилах арифметических операций в P-ичных системах счисления, и о преобразовании чисел между системами счисления.

Арифметические операции в традиционных системах счисления

Рассмотрим два числа, \[ X_1 = \sum_^n a_i P^i, \] \[ X_2 = \sum_^m b_i P^i \]

Правила сложения

Правила сложения выводятся очевидным образом:

\[ Y = X_1 + X_2, \] \[ Y = \sum_^<\mathrm(m,n)> (a_i+b_i) P^i = \sum_^

c_i P^i \]

Получаем правила сложения: числа складываются поразрядно, начиная с младшего. Если в результате сложения получается число меньшее основания системы счисления, переходим к следующему разряду. Иначе, из результата вычитается основание системы счисления \(P\) и “переносится” как 1 в следующий разряд.

Для облегчения задачи сложения, можно использовать так называемые таблицы сложения. Таблицы сложения составляются достаточно легко для любой P-ичной системы счисления. Рассмотрим несколько примеров.

Таблица сложения двоичной системы счисления

0	1
0	0	1
1	1	10

Таблица сложения восьмеричной системы счисления

0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

Таблица сложения шестнадцатиричной системы счисления

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
A	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
B	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
C	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B
D	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C
E	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E

\(\begin & A & 4 & D & <>_ <16>\\ + & & 8 & C & <>_ <16>\\ \hline<> &&&&<>_ <16>\end\qquad\) \(\begin & A & 4 & D & <>_ <16>\\ + & & 8 & C & <>_ <16>\\ \hline<> &&\overset<1><>&9&<>_ <16>\end\qquad\) \(\begin & A & 4 & D & <>_ <16>\\ + & & 8 & C & <>_ <16>\\ \hline<> &&\overset<1>&9&<>_ <16>\end\qquad\) \(\begin & A & 4 & D & <>_ <16>\\ + & & 8 & C & <>_ <16>\\ \hline<> &A&\overset<1>&9&<>_ <16>\end\qquad\) \(\begin & A & 4 & D & <>_ <16>\\ + & & 8 & C & <>_ <16>\\ \hline<> &A&\overset<1>&9&<>_ <16>\\ \hline<> &A&D&9&<>_ <16>\end\qquad\)

Правила умножения

\[ Y = X_1 \cdot X_2, \] \[ Y = \left(\sum_^n a_i P^i\right) \cdot \left(\sum_^m b_i P^i\right) \]

Раскрывая вторые скобки, получаем:

\[ Y = \sum_^m b_i P^i \left(\sum_^n a_j P^j\right) \]

\[ Y = \sum_^m b_i \left(\sum_^n a_j P^\right) \]

Обозначим \[ Y_i = b_i \cdot \sum_^n a_j P^j \]

Тогда \[ Y = \sum_^m Y_i P^i \]

Рассмотрим теперь умножение на один разряд:

Тогда, имеем два варианта:

Для облегчения умножения, существуют таблицы умножения. Их составление немного сложнее, чем таблиц сложения, однако при наличии таблиц сложения оказывается тоже достаточно простым.

Таблица умножения двоичной системы счисления

0	1
0	0	0
1	0	1

Таблица умножения восьмеричной системы счисления

0	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	10	12	14	16
3	3	6	11	14	17	22	25
4	4	10	14	20	24	30	34
5	5	12	17	24	31	36	43
6	6	14	22	30	36	44	52
7	7	16	25	34	43	52	61

Таблица умножения шестнадцатиричной системы счисления

0	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
2	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E
3	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D
4	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C
5	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B
6	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A
7	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69
8	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	5A	63	6C	75	7E	87
A	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96
B	B	16	21	2C	37	42	4D	58	63	6E	79	84	8F	9A	A5
C	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	A8	B4
D	D	1A	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8F	9C	A9	B6	C3
E	E	1C	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	A8	B6	C4	D2
F	F	1E	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	A5	B4	C3	D2	E1

\(\begin & & A & E & <>_ <16>\\ \times & & 3 & E & <>_ <16>\\ \hline<> \end\qquad\) \(\begin & & A & \underline E & <>_ <16>\\ \times & & 3 & \underline E & <>_ <16>\\ \hline<> & & C & 4 & <>_ <16>\end\qquad\) \(\begin & & \underline A & E & <>_ <16>\\ \times & & 3 & \underline E & <>_ <16>\\ \hline<> & & C & 4 & <>_ <16>\\ + & 8 & C & & <>_ <16>\end\qquad\) \(\begin & & A & \underline E & <>_ <16>\\ \times & & \underline 3 & E & <>_ <16>\\ \hline<> & & C & 4 & <>_ <16>\\ + & 8 & C & & <>_ <16>\\ + & 2 & A & & <>_ <16>\\ \end\qquad\) \(\begin & & \underline A & E & <>_ <16>\\ \times & & \underline 3 & E & <>_ <16>\\ \hline<> & & & C & 4 & <>_ <16>\\ + & & 8 & C & & <>_ <16>\\ + & & 2 & A & & <>_ <16>\\ + & 1 & E & & & <>_ <16>\\ \end\qquad\) \(\begin & & A & E & <>_ <16>\\ \times & & 3 & E & <>_ <16>\\ \hline<> & & & C & 4 & <>_ <16>\\ + & & 8 & C & & <>_ <16>\\ + & & 2 & A & & <>_ <16>\\ + & 1 & E & & & <>_ <16>\\ \hline<> & \overset<1> <1>& \overset<2> <8>& 2 & 4 & <>_ <16>\\ \hline<> & 2 & A & 2 & 4 & <>_ <16>\end\qquad\)

Правила вычитания и деления

Для вычитания можно использовать таблицы сложения, а для деления – таблицы умножения и сложения.

Правила преобразования чисел между системами счисления.

Другим интересным следствием теоремы о единственности представления чисел является преобразование чисел между системами счисления.

Преобразование чисел в десятичную систему счисления

Если дано число \(X\) в P-ичной системе счисления, то для его перевода в десятичную, достаточно записать представление в виде числового ряда в десятичной системе и вычислить получившееся выражение. Другими словами, каждую цифру перевести в десятичную систему, домножить на ее “вес” (в десятичной системе) и сложить полученные числа.

\[ ACE_ <16>= 10 \cdot 16^2 + 12 \cdot 16 + 14 = 2560 + 192 + 14 = 2766 \]

\[ 10100101110110_2 = 2 + 4 + 16 + 32 + 64 + 256 + 2048 + 8192 = 10614 \]

Преобразование чисел из десятичной системы счисления

Рассмотрим разложение числа \(X\) в P-ичной системе счисления:

\[ X = a_n P^n + \ldots + a_1 P^1 + a_0 \]

Если разделить \(X\) на \(P\) с остатком, то получим

\[\frac + \ldots + a_1>

= a_n P^ + \ldots + a_2 + \frac

.\]

Ясно, что мы можем повторить эту процедуру \(n\) раз, и в результате получим \(0\) в частном и \(a_n\) в остатке.

Таким образом, мы можем получить значения всех разрядов в P-ичном числе, пользуясь его десятичным представлением.

\[ 9283_ <10>= _ <16>\] \[ 9283/16 = 580\;(3)\] \[ 580/16 = 36\;(4)\] \[ 36/16 = 2\;(4)\] \[ 2/16 = 0\;(2)\] \[ 9283_ <16>= 2443_<16>\]

Смешанные системы счисления

Пример смешанного двоично-шестнадцатиричного числа: \[ <[1011_2][1110_2][1110_2][1111_2]>_ <16>\]

Пример смешанного десятично-шестнадцатиричного числа:

Интересная особенность проявляется в PQ-ичных системах счисления, в которых основание Q – это степень основания P.

\[ \sum_^n a_i P^i = \sum_^ b_j P^\] \[ a_n P^n + \ldots + a_ <2k-1>P^ <2k-1>+ \ldots + a_ P^ + a_ P^ + \ldots + a_0 = b_m P^ + \ldots + b_1 P^k + b_0\] \[ a_n P^n + \ldots + \left( a_ <2k-1>P^ + \ldots + a_\right) P^ + a_ P^ + \ldots + a_0 = b_m P^ + \ldots + b_1 P^k + b_0.\]

Пользуясь методом неопределенных коэффициентов, можем сказать, что

\[b_0 = a_ P^ + \ldots + a_0,\] \[b_1 = a_ <2k-1>P^ + \ldots + a_k,\] \[\ldots\]

Получаем, что каждая Q-ичная цифра соответствует P-ичному числу из \(k\) цифр, и наоборот.

Для перевода из P-ичной в Q-ичную, число разбивается на группы по \(k\) P-ичных цифр, и каждая из групп переводится в Q-ичную систему счисления.

Для перевода из Q-ичной в P-ичную, каждая Q-ичная цифра переводится в P-ичную систему счисления, и при необходимости дополняется слева нулями до \(k\) цифр.

Автоматическое составление таблиц сложения и умножения

Несложно оказывается написать программу, которая автоматически строит таблицы сложения и умножения.

Источник