Как умножить рациональное число

Числа. Умножение рациональных чисел.

Чтобы умножить 2 рациональных числа, нужно умножить модули этих чисел и перед ответом поставить знак «+», когда у множителей одинаковые знаки, либо «-», когда у множителей разные знаки.

Умножение рационального числа на ноль. Когда хоть 1 множитель это нуль, то и произведение будет нулем.

Умножение рациональных чисел с разными знаками. Для умножения несколько чисел с разными знаками, нужно умножить модули каждого числа и вычислить знак результата: когда количество множителей с отрицательными знаками чётное, то произведение станет со знаком «+», когда количество множителей с отрицательными знаками нечетное, то произведение станет со знаком «-».

(+2,5) · (-7,3) · (+ 4) · (-2) · (-1) · (+4) · (-0,5) = +292 (количество отрицательных множителей четное – 4).

Например, результатом умножения рационального числа 4,73 на 1 будет 4,73. Произведение равно.

Таким образом, если умножить такие взаимообратные числа, как: 7/8 и 8/7 получим единицу. Аналогично, умножение −1,5 на −0,(6) в результате будет 1, т.к. −1,5=−3/2 и −0,(6)=−2/3, а −3/2 и −2/3 – взаимно обратные числа.

Законы умножения натуральных чисел действуют на всех рациональных числах.

Схема определения знака произведения 2-х рациональных чисел:

Источник

Умножения рациональных чисел, математика, примеры.

Произведение или умножение рациональных чисел вычисляется так же, как и обыкновенных дробей, разница лишь в знаках. В математике есть понятие умножение рациональных чисел и умножение дробей, правила и определения умножение в обоих случаях одинаковы.

Урок: умножение положительных рациональных чисел.

Правило умножения положительных рациональных чисел.
Чтобы выполнить умножение двух положительных рациональных чисел, нужно числитель умножить с числителем, а знаменатель умножить со знаменателем, итоговая дробь будет иметь положительный знак.

Формула умножения положительных рациональных чисел.

Пример:
Выполните умножение положительных рациональных чисел \(\frac<3> <4>\times \frac<1><11>\).

Решение:
Нужно всегда считать знаки при умножении. У первой и второй дроби знак “+”, поэтому и итоговая дробь будет иметь положительный знак. “Плюс на плюс дает знак плюс”.

Умножение отрицательных рациональных чисел.

Правило умножения отрицательных рациональных чисел.
Чтобы умножить два отрицательных рациональных числа, нужно взять модули чисел и числитель умножить с числителем, а знаменатель умножить со знаменателем, итоговая дробь будет со знаком “+”.

Формула умножения отрицательных рациональных чисел.

Решение:
Знак итоговой дроби будет положительный. “Минус на минус дает знак плюс”.

Умножение рациональных чисел с разными знаками.

Правило умножения рациональных чисел с разными знаками.
Чтобы умножить два рациональных числа с разными знаками, нужно взять модули чисел и числитель умножить с числителем, а знаменатель умножить со знаменателем, итоговая дробь будет со знаком “-”.

Формула умножения рациональных чисел с разными знаками.

Решение:
а) При умножение положительного числа на отрицательное, итоговый знак будет отрицательным. “Плюс на минус дает знак минус”.

б) При умножении отрицательного числа на положительное число, получаем отрицательное число. “Минус на плюс дает знак минус”.

Умножение рациональных чисел на 0.

Правило умножения рационального числа на нуль.
При умножении рационального числа на нуль, получим в результате нуль.

Формула умножения рационального числа на нуль.

Пример:
Выполните произведение: а) \(\frac<102> <117>\times 0\) б) \(-\frac<1> <5>\times 0\)

Решение:
Приумножении на нуль любого числа (не важно отрицательного или положительного) всегда будет в результате нуль.

а) \(\frac<102> <117>\times 0 = 0\)
б) \(-\frac<1> <5>\times 0 = 0\)

Произведение рационального числа на целое число.

Определение:
Чтобы умножить целое число на рациональное число, нужно число умножить на числитель рационального числа, а знаменатель умножить на 1.

Формула умножения рационального числа на целое число.

Решение:
а) Любое целое число можно представить в виде дроби \(5=\frac<5><1>\)

Произведение взаимно обратных рациональных чисел.

Определение:
Произведение взаимно обратных чисел равно 1.

Формула умножения взаимно обратных чисел.

You may also like:

Что такое уравнение и корни уравнения? Как решить уравнение?

Деление рациональных чисел примеры и правила.

Нужен репетитор по математике (алгебре) или геометрии?

Сложение рациональных чисел, правила и примеры.

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Источник

Действия с рациональными числами

теория по математике 📈 числа и вычисления

Рациональные числа – это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби, где a – целое число, а b – натуральное.

То есть все дробные и целые числа вместе образуют рациональные числа, так как любое целое можно представить в виде обыкновенной дроби, записав его в числитель, а в знаменателе надо написать 1.

Действия с рациональными числами

Для любого рационального числа применимо правило сложения (или вычитания): а + 0 = 0, a — 0 = a

Пример №2. –25,7 + 0 = –25,7 или 0+(–67)= –67

Аналогичное правило работает и для вычитания нуля.

Пример №3. 45 – 0=45 или – 67 – 0 = – 67

Как складывать отрицательные числа?

Чтобы сложить два отрицательных рациональных числа, складывают модули и перед полученным результатом ставят знак минус.

Модуль неотрицательного числа равен этому числу, модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному.

Пример №4. Складываем модули чисел –31 и –45, то есть модули чисел равны соответственно |–31|=31 и |–45|=45, значит, 31+45 = 76. Далее ставим минус в ответе. Запись самого решения выполняется без знака «модуля» следующим образом:

Как складывать числа с разными знаками?

При сложении чисел с разными знаками необходимо из числа, которое больше по модулю, вычесть число, которое меньше по модулю, а перед полученным результатом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.

Чтобы вычесть из одно числа другое, необходимо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Правило умножения двух рациональных чисел, содержащих разные знаки, гласит: выполняем умножение модулей этих чисел и перед полученным результатом ставим знак минус. Другими словами, при умножении двух чисел с разными знаками всегда ставится минус в ответе.

Правило деления двух рациональных чисел аналогично правилу умножения: при делении двух чисел с разными знаками в ответе получается отрицательное число. При делении двух отрицательных чисел получается положительное число.

Выполним вычитание десятичных дробей, где 9,4 больше по модулю, значит, ответ будет отрицательным. Итак, – (9,4 – 4,9)= – 4,5

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите значение выражения:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Для получения результата необходимо последовательно выполнить математические действия в соответствии с их приоритетом.

Выполняем возведение в степень. Получаем числа, состоящие из единицы и следующего за ней количества нулей, равного показателю степени. При этом знаки «–» в скобках исчезают, поскольку показатели степеней четные. Получаем:

Выполняем умножение. Для этого в числе 0,3 переносим десятичную запятую на 4 знака вправо (так как в 10000 четыре нуля), а к 4 дописываем, соответственно, 2 нуля. Получаем:

Выполняем сложение –3000+400. Поскольку это числа с разными знаками, то вычитаем из большего модуля меньший и перед результатом ставим «–», поскольку число с большим модулем отрицательное. Получаем:

Так как оба числа отрицательные, то складываем их модули и перед результатом ставим «–». Получаем:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Это задание требует простого умения выполнять арифметические действия с десятичными дробями.

Сначала выполняем умножение. Умножаем –13 и –9,3 в столбик без учета знаков «–» перед сомножителями. В полученном произведении отделяем одну – последнюю – цифру десятичной запятой:

Знак произведения будет положительным, поскольку умножаются два отрицательных числа. Получаем:

Эту разность можно вычислить в столбик, но можно и устно. Выполним это действие в уме: вычитаем отдельно целые части и десятичные. Получаем:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

К данному заданию, как и к большинству заданий 1 модуля Алгебры, подход к решению заключается в переводе дроби от одного вида к другому. В нашем случае это переход от обыкновенной дроби к десятичной.

Переводим ¼ из обыкновенной дроби в десятичную. Делим 1 на 4, получаем 0,25. Затем переписываем выражение с использованием только десятичных дробей и вычисляем:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Можно решать задачу напрямую — вычисляя значения последовательно, это не должно составить труда, однако решение будет долгим и с большими вычислениями. Здесь можно заметить, что 1/3 присутствует как в уменьшаемом — 6 • (1/3)², так и в вычитаемом — 17 • 1/3, поэтому её можно легко вынести за скобку.

Проведя вычисления в скобках, получим:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задачу можно решать разными путями, а именно менять последовательность действий, но этот вариант решения рекомендуется для тех, кто уверен в своих возможностях и знает математику на отлично. Для остальных мы рекомендуем выполнить последовательно действия в числителе и знаменателе, а затем разделить числитель на знаменатель. Числитель вычислять в данном примере нет необходимости, это число 9.

Вычислим значение знаменателя:

Можно произвести вычисления в столбик, тогда получим:

Либо перевести дробь к простому виду:

4,5 • 2,5 = 4½ • 2 ½ = 9 / 2 • 5 / 2 = 45 / 4

Последний случай предпочтительней, так как для дальнейшей операции — деления числителя на знаменатель задача упрощается. Делим числитель на знаменатель, умножая числитель на перевернутую дробь в знаменателе:

9 / ( 45 / 4 ) = ( 9 / 1 ) • ( 4 / 45 ) = ( 9 • 4 ) / (1 • 45 )

9 и 45 можно сократить на 9:

( 9 • 4 ) / (1 • 45 ) = ( 1 • 4 )/ (1 • 5 ) = 4 / 5 = 8 / 10 = 0,8

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Умножение рациональных чисел

Урок 37. Математика 6 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Умножение рациональных чисел»

Представим себе такую историю…

– Саша, ты меня звал? – спросил у друга Паша.

– Да, звал. Помоги мне, пожалуйста, разгадать кроссворд. Если мы его разгадаем, то узнаем тему следующего урока математики, – рассказал Саша.

– Хорошо. Давай разгадаем, – согласился Паша.

– Расстояние от начала отсчёта до точки, изображающей данное число на координатной прямой, – зачитал первый вопрос Саша.

– Это расстояние называют модулем, – уверенно сказал Паша.

– Точно! Подходит, – записал слово Саша и продолжил, – 60 секунд, слово из 6 букв.

– Наверное, минута, – предположил Паша.

– Подходит, – обрадовался Саша. – Следующее слово – знак действия. 5 букв. Действие сложения обозначают знаком «плюс». Это слово из 4 букв, а значит, не подходит нам. Действие вычитания обозначают знаком «минус». Это слово из 5 букв. Запишем его.

Читаю дальше: отрезок, соединяющий любые две точки окружности. Может, это радиус?

– Посмотри внимательнее. Это слово из 5 букв. А в слове «радиус» 6 букв.

– Паша, такой отрезок же называют хордой, – радостно сказал Саша и начал читать следующий вопрос, – действие со знаком «». Это действие сложения. Мы сегодня уже вспоминали о нём.

– Верно, – сказал Паша. – Читай дальше.

– Наименьшая единица времени, – продолжил Саша.

– Секунда, – уверенно ответил Паша. – Подходит?

– Подходит, – ответил Саша. – Следующий вопрос. Число, показывающее положение точки на координатной прямой.

– А сколько букв? – cпросил Паша.

– 10 букв, – ответил Саша и сразу же догадался, – так это же координата.

– Читай следующий вопрос, – сказал Паша.

– Сумма длин всех сторон. 8 букв, – зачитал Саша.

– Это периметр, – не задумываясь ответил Паша.

– И осталось разгадать последнее слово, – сказал Саша. – Частное двух чисел, отличных от нуля.

– Это отношение, – сразу догадался Паша.

– Кроссворд разгадан, – обрадовался Саша. – И у нас получилось слово «умножение».

– На прошлых уроках мы научились складывать и вычитать рациональные числа, а значит, на следующем уроке будем учиться умножать рациональные числа, – предположил Паша.

– А давай попросим Мудряша рассказать нам об умножении рациональных чисел, – предложил Саша.

– Давай, – согласился с другом Паша.

– Ребята, прежде чем я расскажу вам об умножении рациональных чисел, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Ребята, вы знаете, что умножением называют действие нахождения суммы одинаковых слагаемых. Например, означает то, что надо найти сумму 4 слагаемых, каждое из которых равно 5. Это равняется 20.

Таким образом, мы произведение можем записать в виде суммы 4 слагаемых, каждое из которых равно . А это равняется .

– А как тогда записать произведение ? – спросили у Мудряша мальчишки. – Мы же не можем найти сумму слагаемых.

– Хороший вопрос! – похвалил ребят Мудряш. – Мы с вами знаем, что для положительных чисел выполняется переместительное свойство умножения.

– То есть , – продолжил Саша.

– Верно! – сказал Мудряш. – Переместительное свойство выполняется и для рациональных чисел.

– Это значит, что ? – применил переместительный закон умножения Паша.

– Всё правильно, – ответил Мудряш. – При этом обратите внимание, что полученные произведения и – противоположные числа, а значит, произведение противоположно произведению . Произведение противоположно произведению . То есть можем записать, что ; .

Посмотрим на эти равенства и заметим, что произведение чисел с разными знаками равно произведению модулей этих чисел со знаком «».

При этом обратите внимание, если в произведении отрицательный множитель записан первым, то его не обязательно брать в скобки. Если же отрицательный множитель записан не первым, то брать его в скобки надо обязательно.

Запомните! Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «».

– А можно ли умножить два отрицательных числа? – спросили у Мудряша мальчишки.

– Конечно, можно! – ответил Мудряш. – Давайте найдём произведение ; ; ); . Первое произведение равно 12. Второе равно . Третье – также . Заметим, что при изменении знака одного из множителей в произведении знак произведения изменился. А если мы изменим знак у каждого из множителей произведения , то получается, что знак произведения меняется дважды и в результате остаётся прежним, то есть . Произведение модулей и также даёт .

Поэтому можем сформулировать правило.

Запомните! Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули.

– Давайте с вами решим несколько примеров. Первый пример .

– Здесь нам надо найти произведение двух чисел с разными знаками, – подсказал Мудряшу Саша. – Для этого мы должны умножить их модули и перед произведением поставить знак «»: . И у нас получится .

– Верно! – сказал Мудряш. – Второй пример.

– Нам надо найти произведение двух отрицательных чисел. Для этого мы просто перемножим модули множителей: . И получим , – решили пример мальчики.

– В третьем примере запишем произведение модулей множителей со знаком «», так как находим произведение двух чисел с разными знаками: , – начал Мудряш.

– И, выполнив вычисления, получим , – помогли ему мальчишки.

– Молодцы! – похвалил Мудряш Сашу и Пашу. – Следующий пример: .

– Это равно 0, – уверенно сказали ребята, – ведь умножение на 0 всегда даёт 0.

– Совершенно верно! – сказал Мудряш. – В следующем примере нам надо умножить на .

– Раньше при умножении на 1 мы всегда получали то же самое число, – сказал Саша.

– Верно! – сказал Мудряш. – Запишем произведение модулей множителей со знаком «»: . И, выполнив вычисления, получим . И последний пример: . Произведение этих отрицательных дробей будет равно произведению их модулей, то есть нам надо умножить на .

– Для этого мы произведение числителей запишем в числитель, произведение знаменателей запишем в знаменатель: . Сократим дробь на 5 и на 7 и получим , – провели вычисления Саша и Паша.

– Ребята, а теперь давайте внимательно посмотрим на эти примеры, – сказал Мудряш. – В первом и втором примерах мы умножали числа на и получали противоположные им. А значит, можем сказать, что при умножении числа на получаем число, противоположное данному.

В четвёртом примере умножали на 0 и получили 0. В пятом примере умножали число на 1 и получили само это число.

В третьем примере умножали два числа с разными знаками и получили отрицательное произведение. А в шестом умножали два отрицательных числа, то есть с одинаковыми знаками, и получили положительное произведение.

Сделаем из этого следующие выводы. Запомните! Для любого рационального числа a верны равенства: ; .

Если числа a и b имеют одинаковые знаки, то произведение положительно. И наоборот, если произведение положительно, то числа a и b имеют одинаковые знаки.

Если числа a и b имеют разные знаки, то произведение отрицательно. И наоборот, если произведение отрицательно, то числа a и b имеют разные знаки.

Если хотя бы одно из чисел a или b равно нулю, то произведение равно нулю. И наоборот, если произведение равно нулю, то хотя бы одно из чисел a или b равно нулю.

– Ребята, прежде чем закрепить умение умножать рациональные числа, давайте с вами рассмотрим выражение . Мы знаем, что . Если , то это является произведением двух равных чисел, а значит, чисел с одинаковыми знаками. А мы только что сказали, что произведение чисел с одинаковыми знаками положительно, то есть .

Если же , то . Таким образом, выражение принимает только неотрицательные значения.

Запомните! При любых значениях выражение принимает только неотрицательные значения, то есть .

– Паша, Саша, а сейчас давайте выполним задание, – сказал Мудряш.

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Решение: В первом примере нам надо умножить отрицательное число на положительное. Воспользуемся правилом умножения двух чисел с разными знаками. Тогда запишем произведение модулей множителей со знаком «»: . И, выполнив умножение в скобках, получим .

Второй пример: . Воспользуемся правилом умножения двух отрицательных чисел. Тогда перемножив и , то есть и , получим .

В третьем примере воспользуемся правилом умножения двух чисел с разными знаками. Запишем произведение модулей дробей со знаком «»: . Перемножим дроби в скобках. Произведение числителей запишем в числитель, произведение знаменателей запишем в знаменатель: . Сократим на 3 и на 2 и получим .

Четвёртый пример: . Мы с вами уже знаем, что при умножении числа на получаем число, противоположное данному. А значит, .

В следующем примере нам надо перемножить две отрицательные дроби. Воспользуемся правилом умножения двух отрицательных чисел. Запишем произведение модулей этих дробей: . Произведение их числителей запишем в числитель, произведение их знаменателей запишем в знаменатель: . Сократим на 5 и на 9 и получим .

В последнем примере умножаем 0 и получаем 0, так как если хотя бы один из множителей равен 0, то и произведение равно 0.

Источник