Умножение одночленов
Как выполнить умножение одночленов? Запишем правило и рассмотрим примеры.
Чтобы умножить одночлен на одночлен, надо отдельно умножить их коэффициенты, и отдельно — буквенные множители (степени с одинаковыми основаниями).
Выполнить умножение одночленов:
Чтобы умножить одночлены, отдельно умножаем их коэффициенты, отдельно — степени с одинаковыми основаниями. Умножение степеней выполняем по правилу умножения степеней с одинаковыми основаниями.
(Здесь скобки поставлены, чтобы подчеркнуть, что отдельно умножаем числа, отдельно — каждую из переменных. Обычно в произведении множители скобками не разделяют).
Смешанное число и обыкновенную дробь приводим к одному виду. В данном случае десятичную дробь переводим в обыкновенную, смешанное число переводим в неправильную дробь и сразу же записываем их под одну дробную черту:
Если среди коэффициентов присутствуют отрицательные числа, в первую очередь следует определить знак произведения.
Если количество множителей со знаком «минус» — четное число, результат — число положительное. Если количество множителей с «-» нечетное, результат — отрицательное число.
Здесь «-» один, значит, ответ — число отрицательное
При умножении двух отрицательных чисел получаем положительное число. После сокращения дробей получили числовой множитель 1. Коэффициент 1 в ответе не пишут.
Количество знаков «-» — три, ответ — отрицательное число.
Здесь при переводе десятичной дроби в обыкновенную неправильную записали
можно было бы сразу еще и сократить дробь, но подробная запись позволяет предупредить возможные ошибки.
Умножение одночленов, правило и решение примеров.
Одним из действий, которое можно выполнять с одночленами, является умножение. Сейчас мы подробно разберем, как выполняется умножение одночлена на одночлен. Здесь мы получим правило умножения одночленов, и подробно опишем решения примеров нахождения произведений одночленов.
Навигация по странице.
Правило умножения одночленов
Записанные рассуждения позволяют сформулировать правило умножения одночлена на одночлен: чтобы выполнить умножение одночленов, нужно
Осталось овладеть навыками применения озвученного правила умножения одночленов при решении примеров.
Примеры
Чтобы успешно решать примеры, в которых требуется выполнить умножение одночлена на одночлен, достаточно обладать навыками
Перейдем к решению примеров.
Выполните умножение двух одночленов 
и 
.
Без пояснений решение примера можно оформить следующим образом:
.
Абсолютно аналогично решаются примеры на умножение трех, четырех и большего количества одночленов.
В заключение статьи заметим, что возведение одночлена в степень можно рассматривать как умножение некоторого числа одинаковых одночленов.
Одночлены
Определения и примеры
Приведём ещё примеры одночленов:
Одночленом также является любое отдельное число, любая переменная или любая степень. Например, число 9 является одночленом, переменная x является одночленом, степень 5 2 является одночленом.
Приведение одночлена к стандартному виду
Рассмотрим следующий одночлен:
Этот одночлен выглядит не очень аккуратно. Чтобы сделать его проще, нужно привести его к так называемому стандартному виду.
Приведение одночлена к стандартному виду заключается в перемножении однотипных сомножителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему.
Ещё один нюанс заключается в том, что в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.
Итак, приведём одночлен 3a 2 5a 3 b 2 к стандартному виду. В этом одночлене содержатся числа 3 и 5. Перемножим их, получим число 15. Записываем его:
Мы привели одночлен 3a 2 5a 3 b 2 к стандартному виду. В результате получили одночлен 15a 5 b 2
Числовой сомножитель 15 называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.
Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице. Так, коэффициентом одночлена abc является 1, поскольку abc это произведение единицы и abc
Степенью одночлена называют сумму показателей всех переменных входящих в этот одночлен.
Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю. Например, степень одночлена 11 равна нулю.
Не следует путать степень одночлена и степень числа. Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей, тогда как степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен. В одночлене 11 нет переменных, поэтому его степень равна нулю.
Пример 1. Привести одночлен 5xx3ya 2 к стандартному виду
Перемножим числа 5 и 3, получим 15. Это будет коэффициент одночлена:
Пример 2. Привести одночлен 2m 3 n × 0,4mn к стандартному виду
Перемножим числа, переменные и степени по отдельности.
Числа, переменные и степени при перемножении разрешается заключать в скобки. Делается это для удобства. Так, в данном примере перемножение чисел 2 и 0,4 можно заключить в скобки. Также в скобки можно заключить перемножение m 3 × m и n × n
Но желательно выполнять все элементарные действия в уме. Так, решение можно записать значительно короче:
Но чтобы в уме приводить одночлен к стандартному виду, тема умножения целых чисел и умножения степеней должна быть изучена на хорошем уровне.
Сложение и вычитание одночленов
Одночлены можно складывать и вычитать. Чтобы это было возможно, они должны иметь одинаковую буквенную часть. Коэффициенты могут быть любыми. Сложение и вычитание одночленов это по сути приведение подобных слагаемых, которое мы рассматривали при изучении буквенных выражений.
Чтобы сложить (вычесть) одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.
Пример 1. Сложить одночлены 6a 2 b и 2a 2 b
Сложим коэффициенты 6 и 2, а буквенную часть 6a 2 b оставим без изменений
Пример 2. Вычесть из одночлена 5a 2 b 3 одночлен 2a 2 b 3
Можно заменить вычитание сложением, и сложить коэффициенты одночленов, оставив буквенную часть без изменения:
Либо сразу из коэффициента первого одночлена вычесть коэффициент второго одночлена, а буквенную часть оставить без изменения:
Умножение одночленов
Одночлены можно перемножать. Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые и буквенные части.
Пример 1. Перемножить одночлены 5x и 8y
Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. Для удобства перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:
Пример 2. Перемножить одночлены 5x 2 y 3 и 7x 3 y 2 c
Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. В процессе умножения будем применять правило перемножения степеней с одинаковыми основаниями. Перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:
Пример 3. Перемножить одночлены −5a 2 bc и 2a 2 b 4
Пример 4. Перемножить одночлены x 2 y 5 и (−6xy 2 )
Пример 5. Найти значение выражения 
Деление одночленов
Одночлен можно разделить на другой одночлен. Для этого нужно коэффициент первого одночлена разделить на коэффициент второго одночлена, а буквенную часть первого одночлена разделить на буквенную часть второго одночлена. При этом используется правило деления степеней.
Например, разделим одночлен 8a 2 b 2 на одночлен 4ab. Запишем это деление в виде дроби:
Первый одночлен 8a 2 b 2 будем называть делимым, а второй 4ab — делителем. А одночлен, который получится в результате, назовём частным.
Не всегда можно первый одночлен разделить на второй одночлен. Например, если в делителе окажется переменная, которой нет в делимом, то говорят, что деление невозможно.
Но если в делимом содержится переменная, которая не содержится в делителе, то деление будет возможным. В этом случае переменная, которая отсутствовала в делителе, будет перенесена в частное без изменений.
Но в некоторых дробях, если невозможно выполнить деление, бывает возможным выполнить сокращение. Делается это с целью упростить выражение.
В числителе и знаменателе мы пришли к делению одночленов, которое можно выполнить:
Процесс деления обычно выполняется в уме, записывая над числителем и знаменателем получившийся результат:
Пример 2. Разделить одночлен 12a 2 b 3 c 3 на одночлен 4a 2 bc
Пример 3. Разделить одночлен x 2 y 3 z на одночлен xy 2
Дополнительно упомянем, что деление одночлена на одночлен также невозможно, если одна из степеней, входящая в делимое, имеет показатель меньший, чем показатель той же степени из делителя.
и такое частное при перемножении с делителем x 2 будет давать в результате делимое 2x
Но нас пока интересуют только те частные, которые являются так называемыми целыми выражениями. Целые выражения это те выражения, которые не являются дробями, в знаменателе которых содержится буквенное выражение. А частное 
целым выражением не является. Это дробное выражение, в знаменателе которого содержится буквенное выражение.
Возведение одночлена в степень
Одночлен можно возвести в степень. Для этого используют правило возведения степени в степень.
Пример 1. Возвести одночлен xy во вторую степень.
Чтобы возвести одночлен xy во вторую степень, нужно возвести во вторую степень каждый сомножитель этого одночлена
Пример 2. Возвести одночлен −5a 3 b во вторую степень.
Пример 3. Возвести одночлен − a 2 bc 3 в пятую степень.
В данном примере коэффициентом одночлена является −1. Этот коэффициент тоже нужно возвести в пятую степень:
Пример 4. Представить одночлен 4x 2 в виде одночлена, возведённого в квадрат.
Пример 5. Представить одночлен 121a 6 в виде одночлена, возведённого в квадрат.
Таким образом, если произведение 11a 3 возвести во вторую степень, то получится 121a 6
(11a 3 ) 2 = 11 2 × (a 3 ) 2 = 121a 6
Разложение одночлена на множители
Поскольку одночлен является произведением чисел, переменных и степеней, то он может быть разложен на множители, из которых состоит.
Пример 1. Разложить одночлен 3a 3 b 2 на множители
Данный одночлен можно разложить на множители 3, a, a, a, b, b
Либо степень b 2 можно не раскладывать на множители b и b
В каком виде представлять одночлен зависит от решаемой задачи. Главное, чтобы разложение было тождественно равно исходному одночлену.
Пример 2. Разложить одночлен 10a 2 b 3 c 4 на множители.
Урок по теме «Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень». 7-й класс
Класс: 7
Предмет: алгебра
Класс: 7
Тип урока: урок закрепления изучаемого материала.
Формы познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальная.
Цели урока:
Ход урока
1. Организационный момент
«Я сегодня быстро встал,
В школу рано прибежал.
Очень я хочу учиться,
Не лениться, а трудиться».
2. Сообщение учащимся цели предстоящей работы
Ребята, какую тему вы изучали на прошлом уроке? Что вы научились делать? На какие свойства опирались? Что мы должны делать дальше?
Сегодня мы продолжим работать по теме: «Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень», применять свойства степени. В конце урока вы напишете самостоятельную работу по этой теме, проверите себя, поставите себе оценку.
3. Воспроизведение учащимися знаний, умений и навыков, которые потребуются для выполнения предложенных заданий.
Сначала мы вместе восхитимся глубокими знаниями:
Проверка домашнего задания
Проведем маленький устный опрос. Учащиеся задают вопросы друг другу по цепочке по правилам:
Устная работа: (фронтальная работа)
1. Упростить выражение:
2. Вычисли: 
Математическое домино (по свойствам степеней). (Работает пара учащихся, сидящих за одной партой).
Озвучивают результат своей работы.
Составить формулы на магнитной доске из карточек: (Один ученик )
Не беда ошибиться, беда не исправиться. Найди ошибку в решении и исправь ее, запиши правильное решение. (Какая ошибка допущена?).
Выполнить из учебника: № 220 (1 столбик), 225 (1 строчка).
4. Самостоятельная работа (через копирку).
1. Приведите одночлен к стандартному виду
1. Приведите одночлен к стандартному виду
2. Приведите одночлен к стандартному виду
2. Приведите одночлен к стандартному виду
3. Упростите выражение
3. Упростите выражение
4. Упростите выражение
4. Упростите выражение
5. Представьте в виде квадрата одночлена выражение
5. Представьте в виде квадрата одночлена выражение
Верхний лист сдаем учителю на проверку. А по другому листу сверяем свою работу с правильным решением.
Открытый урок.Тема: «Умножение одночлена на одночлен. Возведение одночлена в степень.»
Учащиеся познакомятся с правилом умножения одночленов.
Разберут правило возведения одночлена в степень.
Учащиеся разовьют логическое мышление через операции аналогии, сопоставления и обобщения, поиск нового.
Учащиеся разовьют творческое отношение к предмету.
Учащиеся воспитают в себе чувство взаимопомощи, ответственность друг за друга;
Проявят интерес к математике.
Формы работы: Индивидуальная, парная, графический диктант, приём «найди ошибку», работа с учебником, самостоятельная работа.
Прогнозируемый результат: умение использования свойств степеней при умножении одночленов и возведения одночлена в степень
1.Организационный момент (позитивный настрой через рефлексию)
3.Актуализация знаний учащихся
4. Постановка проблемы. Объяснение нового материала.
5. Первичное закрепление темы. Решение упражнений
6.Контроль усвоения, коррекция ошибок. Самостоятельная работа
8. Подведение итогов урока.
По источникам знаний применились словесные, наглядные, практические методы.
Ход урока
А эпиграфом урока для меня и каждого из вас пусть будут слова : «У меня все получится!»
№ 553(найти степень одночлена и коэф),545, 460(б)
3. Актуализация Опорных знаний
Запишите ответ в виде степени с основанием С и вы узнаете фамилию и имя великого французского математика, который первым ввел понятие степени числа.
