Умножение многочлена на многочлен
Определение многочлена
Прежде чем мы расскажем, как умножить один многочлен на другой многочлен, разберемся в основных понятиях.
Одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней.
Многочлен— алгебраическое выражение, которое представляет из себя сумму или разность нескольких одночленов.
Стандартный вид многочлена — представление многочлена в виде суммы одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных одночленов.
Как привести многочлен к стандартному виду:
Вспомним, как умножать многочлен на одночлен, двучлен на двучлен, трехчлен на трехчлен:
(a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd.
(a + b + c) * (x + y) = ax + bx + cx + ay + by + cy.
(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc.
Эти правила можно описать так: чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждый член первого умножить на каждый член второго многочлена. Затем полученные произведения сложить и привести результат к многочлену стандартного вида, если это возможно.
Правило умножения многочлена на многочлен
Рассмотрим пример, а после решения сформулируем правило умножения многочлена на многочлен:
Правило умножения многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и все полученные произведения сложить.
Алгоритм умножения многочлена на многочлен:
Рассмотрим пример умножения многочлена на многочлен:
(6x – 2a) * (4 – 3x).
Ответ: (6x – 2a) * (4 – 3x) = 24x – 18x 2 – 8a + 6ax.
Рассмотрим пример умножения трех многочленов:
(x – 2) * (3x + 1) * (4x – 3).
Ответ: (x – 2) * (3x + 1) * (4x – 3) = 12x 3 – 29x 2 + 7x + 6.
Теперь мы знаем все из темы умножения многочлена на многочлен. Осталось отточить на практике новый навык и ловить хорошие и отличные отметки на контрольных.
Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Примеры умножения многочлена на многочлен
Рассмотрим еще несколько примеров, чтобы закрепить пройденный материал.
Пример 1. Выполнить умножение многочленов:
2 − 3x и x 2 − 7x + 1.
Запишем произведение: (2 − 3x)(x 2 − 7x + 1).
Из полученных выражений составим сумму: 2x 2 + 2(−7x) + 2*1 − 3xx 2 − 3x(−7x) − 3x*1.
Чтобы убедиться, что мы все сделали правильно, посчитаем количество членов в полученной сумме. Их шесть. Так и должно быть, так как исходные многочлены состоят из 2 и 3 членов: 2 * 3 = 6.
Осталось полученную сумму преобразовать в многочлен стандартного вида:
Пример 2. Найти произведение трех многочленов:
x 2 + xy − 1, x + y и 2y − 3.
Запишем их произведение: (x 2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3).
Умножим первые два многочлена:
(x 2 + xy − 1)(x + y) = x 2 x + x 2 y + xyx + xyy − 1x − 1y = x 3 + 2x 2 y + xy 2 − x − y.
Таким образом: (x 2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3) = (x 3 + 2x 2 y + xy 2 − x − y)(2y − 3).
Снова выполним умножение двух многочленов:
(x 3 + 2x 2 y + xy 2 − x − y)(2y − 3) = x 3 2y + x 3 (−3) + 2x 2 y 2 y + 2x 2 y(−3) + xy 2 2y + xy 2 (−3) − x 2 y − x(−3) − y 2 y − y(−3) = 2x 3 y − 3x 3 + 4x 2 y 2 − 6x 2 y + 2xy 3 − 3xy 2 − 2xy + 3x − 2y 2 + 3y.
Ответ: (x 2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3) = 2x 3 y − 3x 3 + 4x 2 y 2 − 6x 2 y + 2xy 3 − 3xy 2 − 2xy + 3x − 2y 2 + 3y.
Умножение многочлена на многочлен: правило, примеры
Одним из действий с многочленами является умножение многочлена на многочлен. В данной статье рассмотрим правило такого умножения и применим его при решении задач.
Правило умножения многочлена на многочлен
Зададим два многочлена a + b и c + d и выполним их умножение.
Рассуждения, которые мы привели выше, дают возможность сделать важные выводы:
Теперь можем сформулировать правило умножения многочленов:
Для осуществления умножения многочлена на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и найти сумму полученных произведений.
Примеры умножения многочлена на многочлен
В практическом решении задач нахождение произведения многочленов раскладывается на несколько последовательных действий:
Решение
Последним действием преобразуем записанную сумму в многочлен стандартного вида: 2 · x 2 + 2 · ( − 7 · x ) + 2 · 1 − 3 · x · x 2 − 3 · x · ( − 7 · x ) − 3 · x · 1 = = 2 · x 2 − 14 · x + 2 − 3 · x 3 + 21 · x 2 − 3 · x = = ( 2 · x 2 + 21 · x 2 ) + ( − 14 · x − 3 · x ) + 2 − 3 · x 3 = 23 · x 2 − 17 · x + 2 − 3 · x 3
Кратко без пояснений решение будет выглядеть так:
( 2 − 3 · x ) · ( x 2 − 7 · x + 1 ) = 2 · x 2 + 2 · ( − 7 · x ) + 2 · 1 − 3 · x · x 2 − 3 · x · ( − 7 · x ) − 3 · x · 1 = = 2 · x 2 − 14 · x + 2 − 3 · x 3 + 21 · x 2 − 3 · x = = ( 2 · x 2 + 21 · x 2 ) + ( − 14 · x − 3 · x ) + 2 − 3 · x 3 = 23 · x 2 − 17 · x + 2 − 3 · x 3
Уточним, что, когда исходные многочлены заданы в нестандартном виде, перед тем, как найти их произведение, желательно привести их к стандартному виду. Результат, конечно, будет тот же, но решение станет удобнее и короче.
Решение
Один из заданных многочленов записан в нестандартном виде. Исправим это, приведя его к стандартному виду:
Теперь найдем искомое произведение:
Напоследок проясним ситуацию, в которой есть необходимость перемножить три и более многочленов. В этом случае нахождение произведения сводится к последовательному перемножению многочленов по два: т.е. сначала перемножаются первые два многочлена; полученный результат умножается на третий многочлен; итог этого умножения – на четвертый многочлен и так далее.
Решение
Найдем результат этого умножения:
Ответ:
( x 2 + x · y − 1 ) · ( x + y ) · ( 2 · y − 3 ) = 2 · x 3 · y − 3 · x 3 + 4 · x 2 · y 2 − 6 · x 2 · y + + 2 · x · y 3 − 3 · x · y 2 − 2 · x · y + 3 · x − 2 · y 2 + 3 · y
Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно:
Рассмотрим пример умножения многочлена на многочлен.
Умножим последовательно первый одночлен « 6x » из первой скобки на оба одночлена второй скобки.
Затем умножим второй одночлен « −2a » первой скобки на оба одночлена второй скобки. Умножать одночлены будем по правилам умножения одночленов.
Не забывайте при умножении одночленов использовать правило знаков.
Результат умножения многочлена на многочлен будет всегда многочленом.
Примеры умножения многочлена на многочлен
Как умножить 3 многочлена
Чтобы умножить 3 или более многочленов нужно:
Другими словами, умножать несколько многочленов нужно последовательно. Рассмотрим пример умножения трёх многочленов.
Сначала умножим первый многочлен на второй, и их результат запишем в скобках.
Теперь перемножим получившийся многочлен и третий многочлен. Не забудем после умножения привести подобные одночлены.
Умножение многочлена на многочлен
Что такое многочлен?
Многочленом называется алгебраическое выражение, представляющее сумму нескольких одночленов. В свою очередь, одночлены, составляющие многочлен, называются членами многочлена.
Примеры многочленов: a – 3b 2 + c; 2x + 6y; 6 – 3ac
Любой многочлен состоит из нескольких одночленов.
Так, например, многочлен 2a 2 b + 4ac – 6xy + 8 состоит из следующих одночленов:
По правилу знаков любой многочлен можно представить как сумму одночленов:
2a 2 b + 4ac – 6xy + 8 = 2a 2 b + 4ac + (-6xy) + 8
Как умножить многочлен на многочлен?
Для операции умножения многочлена на многочлен необходимо:
Рассмотрим правило на конкретном примере.
Следует произвести умножение многочленов: (6y – 2b) * (4 – 3y).
(6y – 2b) * (4 – 3y) = 6y * 4 + 6y * (-3y) – 2b * 4 + (-2b) * (-3y) = 24y – 18y 1+1 – 8b + 6by = 24y – 18y 2 – 8b + 6by
Результатом умножения многочлена на многочлен так же всегда будет многочлен.
Примеры перемножения многочленов:
Если требуется перемножить более двух многочленов? Какие правила следует помнить при выполнении этой операции?
Умножение более двух многочленов
Для операции перемножения более двух многочленов необходимо:
Рассмотрим правило на конкретном примере.
Следует произвести умножение трех многочленов:
(a – 2) (3a + 1) (4a – 3) = (a · 3a + a · 1 – 2 · 3a – 2 · 1) ( 4a − 3) =
= (3a 1+1 + a – 6a – 2) (4a – 3) = (3a 2 – 5a – 2) (4a – 3)
(3a 2 – 5a – 2) (4a – 3) = 3a 2 · 4a – 3a 2 · 3 – 5a · 4a + 5a · 3 – 2 · 4a + 2 · 3 =
= 12a 2+1 – 9a 2 – 20a 2 + 15a – 8a + 6 =
= 12a 3 – 29a 2 + 7a + 6
Подробнее с этой темой вы сможете ознакомиться в учебнике Алгебра. 7 класс.
Действия с многочленами
Мы уже разобрали, что из себя представляют многочлены. В рамках данной статьи мы расскажем, как правильно вычитать, умножать, складывать и делить подобные выражения, а также как возводить их в натуральную степень, т.е. определим правила совершения данных действий с многочленами.
Правила сложения и вычитания многочленов
Складывать и вычитать многочлены достаточно просто. Оба эти действия рассматриваются вместе, поскольку осуществляются по одним и тем же принципам:
Поясним алгоритм примером.
Сначала выполним сложение. Записываем сумму:
( 7 · x 2 − 1 ) + ( x · y − x 2 + 2 )
Раскрываем скобки и получаем новый многочлен в следующей форме:
7 · x 2 − 1 + x · y − x 2 + 2
Нам осталось только привести результат к стандартному виду:
7 · x 2 − 1 + x · y − x 2 + 2 = 6 · x 2 + 1 + x · y
Далее проводим вычитание по аналогии со сложением:
( 7 · x 2 − 1 ) − ( x · y − x 2 + 2 ) = 7 · x 2 − 1 − x · y + x 2 − 2 = 8 · x 2 − 3 − x · y
Другие примеры вы можете найти в отдельной статье, посвященной сложению и вычитанию многочленов.
Правила умножения одного многочлена на другой
Перейдем к рассмотрению следующего действия – умножения. Основное правило его выполнения основано на распределительном свойстве умножения. С его помощью мы можем свести умножение многочленов к последовательному перемножению всех их членов друг на друга. Запишем правило:
Чтобы умножить один многочлен на другой, необходимо выполнить умножение каждого члена первого множителя на каждый член второго множителя, после чего провести сложение итоговых произведений.
Результатом умножения двух многочленов друг на друга будет новый многочлен.
Начнем с записи произведения.
a · ( − 3 · a ) + a · b − b · ( − 3 · a ) − b · b = − 3 · a 2 + 4 · a · b − b 2
Вот запись всего решения:
( a − b ) · ( − 3 · a + b ) = = a · ( − 3 · a ) + a · b − b · ( − 3 · a ) − b · b = = − 3 · a 2 + 4 · a · b − b 2
Мы также можем выполнить умножение многочлена на одночлен. Это можно рассматривать как частный случай умножения, приведенного выше. Советуем прочесть отдельную статью об умножении многочленов, где представлены более подробные теоретические положения и приведены более сложные примеры.
Правила возведения многочлена в степень
Условие: выполните возведение многочлена 2 · a · b − b 3 в квадрат.
представим эту степень как произведение двух одинаковых множителей и вычислим нужный результат.
( 2 · a · b − b 3 ) 2 = = ( 2 · a · b − b 3 ) · ( 2 · a · b − b 3 ) = = 2 · a · b · ( 2 · a · b ) + 2 · a · b · ( − b 3 ) − b 3 · ( 2 · a · b ) − b 3 · ( − b 3 ) = = 4 · a 2 · b 2 − 4 · a · b 4 + b 6
Подводя итог этого пункта, отметим, что возведение в степень можно выполнять намного быстрее, если пользоваться формулами сокращенного умножения. Советуем вам изучить эту тему более подробно.
Правила деления многочлена на многочлен
Это так, потому что равенство 3 · x 4 + 2 · x 2 − 1 = ( x 2 + x ) · ( 3 · x 2 − 3 · x + 5 ) − 5 · x − 1 является справедливым. Его справедливость легко проверить, выполнив все нужные действия с правой стороны.
Удобно производить деление, предварительно сделав запись уголком, так же, как мы делаем это для целых чисел. Подробнее это действие разобрано в статье, посвященной делению многочлена на многочлен.
