Умножение и деление смешанных чисел
Чтобы умножить или разделить смешанные числа, нужно представить их в виде неправильных дробей и выполнить требуемое действие с обыкновенными дробями.
Когда выполняется умножение смешанного числа на натуральное число (или наоборот), смешанное число можно не записывать в виде неправильной дроби. Такие примеры можно решить используя распределительный закон умножения:
Так как умножение сводится лишь к умножению целой части и числителя дробной части на натуральное число, то умножение смешанного и натурального числа обычно записывают без промежуточных вычислений в более краткой форме:
При делении смешанного числа на натуральное число (или наоборот), их можно представить в виде неправильных дробей и выполнить требуемое действие с обыкновенными дробями:
При умножении и делении смешанного числа на дробь (или наоборот), смешанное число переводится в неправильную дробь, после чего требуемое действие выполняется с обыкновенными дробями:
Калькулятор умножения и деления смешанных чисел
Умножение смешанных чисел
Содержание
При умножении и делении смешанных чисел мы, как правило, переводим смешанное число в неправильную дробь, а затем выполняем действие с ней. Разберём подробно, как это происходит.
Умножение смешанного числа на натуральное число
Важно понимать, что, когда мы записываем смешанное число, между целой и дробной частью можно поставить знак сложения, а не умножения.
Это важно учитывать ещё и потому, что, привыкнув сокращать дроби, многие ученики пытаются их сокращать и в случае со смешанными числами. Например, так:
При сокращении дробей сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя.
Для того чтобы умножить натуральное число и смешанную дробь, нужно сначала перевести смешанную дробь в неправильную, а затем умножить числитель дроби на натуральное число.
Итак, сначала нужно представить целую часть смешанной дроби в виде неправильной дроби. Для этого нам нужно умножить числитель на знаменатель и записать полученное число в числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений. Попробуем записать это буквами.
$$a \cdot b\frac
При желании эту запись можно продолжить так:
Погодите, но у нас в числителе и знаменателе есть одинаковые буквы! Может быть, их можно убрать, сократив тем самым дробь?
Нет, так сократить дробь нельзя. Ведь слагаемые нельзя сокращать.
Давайте проверим на примере:
$$4 \cdot 6\frac<1> <3>= 4 \cdot \Big(\frac<6 \cdot 3> <3>+ \frac<1> <3>\Big)$$
У нас получилась неправильная дробь, из которой выделяем целую часть
Но можно ли было решать по-другому?
Проверим, срабатывает ли этот способ.
$$4 \cdot \Big(6 + \frac<1> <3>\Big) = 4 \cdot 6 + 4 \cdot \frac<1> <3>= 24 + \frac<4> <3>= 24 + 1 + \frac<1> <3>= 25\frac<1><3>$$
Да, всё получилось. Тем не менее больше распространён способ, при котором смешанные дроби переводят в неправильные. Это универсальный способ, верный также для умножения смешанных чисел на дроби.
Умножение смешанных чисел на дроби
При умножении смешанного числа на дробь смешанное число необходимо представить в виде неправильной дроби, а затем произвести умножение по обычным правилам умножения дроби на дробь: числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель.
Разберём на примере такой задачи.
Для того чтобы умножить дроби, переведём смешанную дробь в неправильную. У нас получится
Можно ли было применить распределительный закон умножения?
В принципе, да. Но в таком случае у нас получится сумма дробей, ведь при умножении целой части смешанной дроби на дробное число получится дробь. Нужно будет приводить слагаемые к общему знаменателю. Давайте посмотрим:
$$3 \frac<3> <8>\cdot \frac<1> <2>= 3 \cdot \frac<1> <2>+ \frac<3> <8>\cdot \frac<1><2>$$
Как видим, удобнее и проще переводить смешанную дробь в неправильную.
Умножение смешанного числа на смешанное число
При умножении одного смешанного числа на другое смешанное число оба множителя переводят в неправильные дроби, а затем умножают их по обычным правилам умножения дроби на дробь.
Сначала переведём обе смешанные дроби в неправильные.
Затем выполним умножение дробей:
Какие можно сделать выводы?
Самый распространённый способ умножения смешанных чисел требует сначала перевести смешанное число в неправильную дробь, а затем применять к ней правила, обычные для умножения дробей.
При действиях со смешанными числами необходимо с осторожностью применять сокращение дробей, всегда проверяя, не является ли сокращаемое число слагаемым. Слагаемые сокращать нельзя, решение не будет верным.
Помня эти два принципа, работать со смешанными числами достаточно легко, примеры с ними часто можно посчитать устно, выполняя все промежуточные этапы в уме.
Добавим, что иногда произведение будет неправильной дробью. Следует выделять целое число и записывать результат в виде смешанной дроби.
Деление смешанных чисел происходит по сходным правилам.
Умножение дробей
Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.
Умножение обыкновенной дроби на дробь
Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей.
Чтобы умножить дробь на дробь, надо:
Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.
Умножение дроби на натуральное число
Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.
Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.
Умножение смешанных чисел
Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.
Другой способ умножения дроби на натуральное число
Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.
Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.
Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.
Умножение дробей: теория и практика
Понятие дроби
Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Существует два формата записи:
Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление — в 5 классе уже это знают.
Дроби могут быть двух видов:
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя:
Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему:
Такое число называют смешанным, читают как «пять целых одна четвертая», а записывают так: 5 1\4.
Основные правила дробей
Умножение дробных чисел
Рассмотрим несколько вариантов умножения обыкновенных дробей.
Как умножить дробь на дробь
Числитель равен произведению числителей обеих дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:
Важно проверить возможность сокращения — так решать будет легче:
Как умножить смешанные дроби
Преобразовать смешанные числа в неправильные, перемножить числители и знаменатели, при необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.
Как умножить дробь на натуральное число
Метод 1. Числитель умножить на натуральное число, а знаменатель оставить без изменения. Если в результате произведения получилась неправильная дробь, нужно выделить целую часть, то есть превратить неправильную в смешанную.
Метод 2. Знаменатель разделить на натуральное число, а числитель оставить прежним.
Этот способ будет удобнее предыдущего, если знаменатель делится на натуральное число без остатка.
Решение задач
Ребятам в 5 и 6 классе нужно практиковаться как можно чаще, чтобы решать такие примеры быстро и легко.
Задание 1. Выполнить умножение 2/17 на 5.
Как решаем: перемножим числитель и натуральное число.
Ответ:
Задание 2. Выполнить умножение 4/15 и 55/6.
Как решаем:
Ответ:
Задание 3. Выполнить умножение одной целой трех седьмых на шесть.
Как решаем:
Ответ:
Онлайн-курсы по математике для детей и подростков — прекрасный способ разобраться в новом материале и закрепить его на практике.
Умножение смешанных чисел: правила, примеры, решения
Данная статья дана для разбора смешанных чисел. Научимся выполнять умножения смешанных чисел и натурального числа.
Умножение смешанных чисел
Умножение смешанных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Для этого нужно сделать перевод смешанных чисел в неправильные дроби.
Используем правила умножения смешанных чисел:
Рассмотрим решения на примерах.
Чтобы закрепить знания умножения смешанных чисел, рассмотрим пример решения.
Мы раскладываем на простые множители и выполняем сокращение одинаковых множителей:
36 · 10 5 · 9 = 2 · 2 · 3 · 3 · 2 · 5 5 · 3 · 3 = 2 · 2 · 2 1 = 8
Ответ: 7 1 5 · 1 1 9 = 8 .
Умножение смешенного и натурального числа
После того, как произведется замена неправильной дробью, умножение смешенного и натурального числа сводится к умножению обыкновенной дроби и натурального числа.
41 · 45 18 = 41 · 3 · 3 · 5 2 · 3 · 3 = 41 · 5 2 = 205 2 = 102 1 2
Необходимо заменить смешанное число суммой целой или дробной его части. Далее используем свойство распределительного умножения:
10 3 8 · 8 = 10 + 3 8 · 8 = 10 · 8 + 3 8 · 8 = 80 + 3 = 83
Ответ: 10 3 8 · 8 = 83 .
Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби
Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби лучше представить в виде произведения обыкновенных дробей, умноженное на смешенное число неправильной дробью.
