Умножение смешанных чисел: правила, примеры, решения
Данная статья дана для разбора смешанных чисел. Научимся выполнять умножения смешанных чисел и натурального числа.
Умножение смешанных чисел
Умножение смешанных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Для этого нужно сделать перевод смешанных чисел в неправильные дроби.
Используем правила умножения смешанных чисел:
Рассмотрим решения на примерах.
Чтобы закрепить знания умножения смешанных чисел, рассмотрим пример решения.
Мы раскладываем на простые множители и выполняем сокращение одинаковых множителей:
36 · 10 5 · 9 = 2 · 2 · 3 · 3 · 2 · 5 5 · 3 · 3 = 2 · 2 · 2 1 = 8
Ответ: 7 1 5 · 1 1 9 = 8 .
Умножение смешенного и натурального числа
После того, как произведется замена неправильной дробью, умножение смешенного и натурального числа сводится к умножению обыкновенной дроби и натурального числа.
41 · 45 18 = 41 · 3 · 3 · 5 2 · 3 · 3 = 41 · 5 2 = 205 2 = 102 1 2
Необходимо заменить смешанное число суммой целой или дробной его части. Далее используем свойство распределительного умножения:
10 3 8 · 8 = 10 + 3 8 · 8 = 10 · 8 + 3 8 · 8 = 80 + 3 = 83
Ответ: 10 3 8 · 8 = 83 .
Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби
Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби лучше представить в виде произведения обыкновенных дробей, умноженное на смешенное число неправильной дробью.
Умножение дробей
Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.
Умножение обыкновенной дроби на дробь
Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей.
Чтобы умножить дробь на дробь, надо:
Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.
Умножение дроби на натуральное число
Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.
Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.
Умножение смешанных чисел
Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.
Другой способ умножения дроби на натуральное число
Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.
Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.
Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.
Умножение дробей
Урок 13. Математика 6 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Умножение дробей»
На этом уроке мы разберёмся, как умножают обыкновенные дроби. Выведем правила умножения обыкновенных дробей на натуральные числа, умножения обыкновенных дробей на обыкновенные дроби и умножения смешанных чисел.
Из этой записи нетрудно заметить, что числитель дроби умножили на натуральное число, а знаменатель оставили таким же.
Запишем правило умножения обыкновенных дробей на натуральное число:
Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно на это число умножить числитель, оставив неизменным знаменатель.
В буквенном виде это правило можно записать так:
Длина прямоугольника 
, а его ширина 
. Найдите площадь прямоугольника.
А теперь попробуем вывести правило умножения обыкновенных дробей. Смотрите, как получили числитель и знаменатель. Видно, что числитель первой дроби умножили на числитель второй дроби, аналогично и со знаменателями. Знаменатель одной дроби умножили на знаменатель второй дроби.
Следовательно, отсюда правило умножения обыкновенных дробей:
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно отдельно перемножить их числители и их знаменатели и первый результат записать числителем, а второй знаменателем.
Или короче можно сказать так: чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель умножить на знаменатель.
В буквенном виде это правило можно записать так:
Мы научились умножать дробь на натуральное число, дробь на дробь. Осталось разобраться, как умножают смешанные числа.
Следовательно, запишем правило умножения смешанных чисел:
Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала преобразовать их в неправильные дроби, а затем выполнить умножение дробей.
Умножение дробей имеет переместительное и сочетательное свойства, а также распределительное свойство относительно сложения и вычитания.
Справедливы также свойства нуля и единицы при умножении.
Чтобы умножить дробь на натуральное число, можно на это число умножить числитель, оставив неизменным знаменатель.
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно отдельно перемножить их числители и их знаменатели и первый результат записать числителем, а второй знаменателем.
Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала преобразовать их в неправильные дроби.
Как умножать смешанные числа
Чтобы понять, как умножать смешанные числа, разберем правило и рассмотрим конкретные примеры.
Правило умножения смешанных чисел
Теперь разберем, как умножать смешанные числа, на примерах.
Чтобы умножить смешанные числа, переводим их в неправильные дроби. 14 и 7 сокращаем на 7, 9 и 3 — на 3. Результаты умножаем. Поскольку в знаменателе получили единицу, ответ — целое число.
Смешанные числа записываем в виде неправильных дробей. 49 и 7 сокращаем на 7, 6 и 18 — на 6. Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть.
Как обычно, смешанные числа переводим в неправильные дроби. 44 и 2 сокращаем на 2, 7 и 21 — на 7. Результаты умножаем, из неправильной дроби выделяем целую часть.
Смешанные числа записываем как неправильные дроби. 30 и 5 сокращаем на 5, 14 и 7 — на 7. Поскольку в результате в знаменателе оказалась единица, ответ — целое число.
Как умножать смешанные числа, если их не два, а несколько? Нет смысла это делать по действиям, лучше перемножить их все вместе, под одной дробной чертой:
Смешанные числа переводим в неправильные дроби. 15 и 9 сокращаем на 3, 10 и 25 — на5, 48 и 8 — на 8. Полученные результаты можно сократить еще раз: 5 и 5 — на 5, 6 и 3 — на 3. После упрощения получаем целое число.
Умножение дробей.
Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.
Умножение обыкновенной дроби на дробь.
Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.
Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.
Умножение дроби на число.
Воспользуемся этим правилом при умножении.
Неправильную дробь \(\frac<20> <7>= \frac<14 + 6> <7>= \frac<14> <7>+ \frac<6> <7>= 2 + \frac<6><7>= 2\frac<6><7>\\\) перевели в смешанную дробь.
Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:
Умножение смешанных дробей.
Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.
Умножение взаимно обратных дробей и чисел.
Вопросы по теме:
Как умножить дробь на дробь?
Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.
Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.
Как умножать смешанные дроби?
Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.
Как умножить число на дробь?
Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.
Пример №1:
Вычислите произведение: а) \(\frac<8> <9>\times \frac<7><11>\) б) \(\frac<2> <15>\times \frac<10><13>\)
Пример №2:
Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac<17><23>\) б) \(\frac<2> <3>\times 11\)
Пример №3:
Напишите число обратное дроби \(\frac<1><3>\)?
Ответ: \(\frac<3> <1>= 3\)
Пример №4:
Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac<104> <215>\times \frac<215><104>\)
Пример №5:
Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?
Решение:
а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac<2><3>\) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac<3><2>\) – неправильная дробь. Ответ: нет.
в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac<3><1>\), то обратная ей дробь будет \(\frac<1><3>\). Дробь \(\frac<1><3>\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac<1> <1>= \frac<1> <1>= 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.
Пример №6:
Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac<4><5>\) б) \(1\frac<1> <4>\times 3\frac<2><7>\)
Решение:
а) \(4 \times 2\frac<4> <5>= \frac<4> <1>\times \frac<14> <5>= \frac<56> <5>= 11\frac<1><5>\\\\ \)
б) \(1\frac<1> <4>\times 3\frac<2> <7>= \frac<5> <4>\times \frac<23> <7>= \frac<115> <28>= 4\frac<3><7>\)
Пример №7:
Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?
