Умножение дробей: теория и практика
Понятие дроби
Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Существует два формата записи:
Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление — в 5 классе уже это знают.
Дроби могут быть двух видов:
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя:
Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему:
Такое число называют смешанным, читают как «пять целых одна четвертая», а записывают так: 5 1\4.
Основные правила дробей
Умножение дробных чисел
Рассмотрим несколько вариантов умножения обыкновенных дробей.
Как умножить дробь на дробь
Числитель равен произведению числителей обеих дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:
Важно проверить возможность сокращения — так решать будет легче:
Как умножить смешанные дроби
Преобразовать смешанные числа в неправильные, перемножить числители и знаменатели, при необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.
Как умножить дробь на натуральное число
Метод 1. Числитель умножить на натуральное число, а знаменатель оставить без изменения. Если в результате произведения получилась неправильная дробь, нужно выделить целую часть, то есть превратить неправильную в смешанную.
Метод 2. Знаменатель разделить на натуральное число, а числитель оставить прежним.
Этот способ будет удобнее предыдущего, если знаменатель делится на натуральное число без остатка.
Решение задач
Ребятам в 5 и 6 классе нужно практиковаться как можно чаще, чтобы решать такие примеры быстро и легко.
Задание 1. Выполнить умножение 2/17 на 5.
Как решаем: перемножим числитель и натуральное число.
Ответ:
Задание 2. Выполнить умножение 4/15 и 55/6.
Как решаем:
Ответ:
Задание 3. Выполнить умножение одной целой трех седьмых на шесть.
Как решаем:
Ответ:
Онлайн-курсы по математике для детей и подростков — прекрасный способ разобраться в новом материале и закрепить его на практике.
Математика. 5 класс
Конспект урока
Умножение натурального числа на дробь
Перечень рассматриваемых вопросов:
– произведение двух дробей;
– взаимно обратные дроби;
– умножение натурального числа на дробь.
Произведение двух дробей – это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.
Взаимно обратные дроби – это дроби, произведение которых равно единице.
1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. ФГОС./ С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др.– М.: Просвещение, 2017, стр. 272.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.
Можно ли умножить дробь на натуральное число n? Конечно, да! Натуральное число n можно представить в виде обыкновенной дроби n/1 и применить правило умножения дробей. Итак, чтобы умножить натуральное число на дробь, можно числитель дроби умножить на это натуральное число, а знаменатель оставить тот же.
Вычислим произведение четырёх пятых и трёх. Умножение можно заменить сложением, то есть три раза сложить дробь четыре пятых. Применяем правило сложения обыкновенных дробей и получаем:
Если произведение дробей равно единице, то такие дроби называют взаимно обратными.
Дроби ¼ и 4/1 называются взаимно обратными.
Чтобы умножить простую и смешанную дробь, можно записать последнюю в виде неправильной дроби и выполнить умножение обыкновенных дробей.
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной, и эту дробь возводят в степень.
Решим задачу: в равностороннем треугольнике длина стороны равна 4/7 м. Найдите периметр треугольника.
Решение. Как мы знаем, периметр – это сумма длин всех сторон. В треугольнике три стороны, а т. к. треугольник равносторонний – стороны равны. Получается, что сумму длин всех сторон можно представить как произведение натурального числа 3 на обыкновенную дробь
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Вычислите значение выражения, результат запишите в виде смешанной дроби.
Переведём смешанные дроби в неправильные, после чего перемножим числители и знаменатели, а результат запишем в виде смешанной дроби. Получим:
№ 2. Вычислите значение произведения, результат сократите.
Умножим числитель первой дроби на числитель второй дроби, знаменатели тоже перемножим. Получим:
Урок 14 Бесплатно Умножение дробей
В этом уроке мы научимся умножать дробь на натуральное число, разберемся с перемножением двух дробей и поймем, в чем заключается алгоритм умножения смешанных чисел.
Умножение дроби на натуральное число
Вполне типичная ситуация из жизни: человек покупает в магазине 5 упаковок товара, в каждой содержится по \(\mathbf<\frac<2><3>>\) килограмм товара.
Логичный вопрос: сколько всего килограмм товара было куплено?
В таких и многих других случаях, необходимо уметь умножить дробь на натурально число.
В нашем случае нужно умножить \(\mathbf<\frac<2><3>>\) на 5.
То есть в нашем примере:
2 умножим на 5, получим 10.
Заметьте, что дробь получилась неправильной, то есть числитель больше знаменателя. Для красоты ответа стоит выделить целую часть та кже, как мы это делали в прошлом уроке.
На всякий случай повторим:
Приведем еще несколько примеров:
Этот пример показывает, что имеет смысл сначала записать произведение, не считая его значение. Тогда можно сократить результат и потом уже досчитать.
В этом примере снова потребовалось выделить целую часть.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Умножение двух дробей
После того, как мы научились умножать дробь на натуральное число, пора переходить к умножению дроби на дробь.
Алгоритм весьма схож. Ответом снова будет дробь:
Рассмотрим подробнее на примере: пусть нам надо перемножить \(\mathbf<\frac<3><4>>\) и \(\mathbf<\frac<2><7>>\).
Числители здесь это 3 и 4, их произведение равняется 12.
Знаменатели: 2 и 7, их произведение дает 14.
Тогда ответом будет дробь: \(\mathbf<\frac<12><14>>\)
Возникает естественное желание сократить эту дробь. Сократим числитель и знаменатель на 2, в итоге ответ будет выглядеть так:\(\mathbf<\frac<6><7>>\)
Сформулируем алгоритм умножения двух дробей:
Здесь мы прибегли к сокращению, убрав из числителя двойку и поделив восьмерку в знаменателе на 2.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Правило 1.
Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.
Правило 2.
Чтобы умножить дробь на дробь, надо:
1. найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей
Правило 3.
Для того, чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.
Правило 4.
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.
Пример 1.
Вычислите 
Пример 2.
Вычислите 
Пример 3.
Вычислите 
Пример 4.
Вычислите 
Умножение дробей
Урок 13. Математика 6 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Умножение дробей»
На этом уроке мы разберёмся, как умножают обыкновенные дроби. Выведем правила умножения обыкновенных дробей на натуральные числа, умножения обыкновенных дробей на обыкновенные дроби и умножения смешанных чисел.
Из этой записи нетрудно заметить, что числитель дроби умножили на натуральное число, а знаменатель оставили таким же.
Запишем правило умножения обыкновенных дробей на натуральное число:
Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно на это число умножить числитель, оставив неизменным знаменатель.
В буквенном виде это правило можно записать так:
Длина прямоугольника 
, а его ширина 
. Найдите площадь прямоугольника.
А теперь попробуем вывести правило умножения обыкновенных дробей. Смотрите, как получили числитель и знаменатель. Видно, что числитель первой дроби умножили на числитель второй дроби, аналогично и со знаменателями. Знаменатель одной дроби умножили на знаменатель второй дроби.
Следовательно, отсюда правило умножения обыкновенных дробей:
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно отдельно перемножить их числители и их знаменатели и первый результат записать числителем, а второй знаменателем.
Или короче можно сказать так: чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель умножить на знаменатель.
В буквенном виде это правило можно записать так:
Мы научились умножать дробь на натуральное число, дробь на дробь. Осталось разобраться, как умножают смешанные числа.
Следовательно, запишем правило умножения смешанных чисел:
Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала преобразовать их в неправильные дроби, а затем выполнить умножение дробей.
Умножение дробей имеет переместительное и сочетательное свойства, а также распределительное свойство относительно сложения и вычитания.
Справедливы также свойства нуля и единицы при умножении.
Чтобы умножить дробь на натуральное число, можно на это число умножить числитель, оставив неизменным знаменатель.
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно отдельно перемножить их числители и их знаменатели и первый результат записать числителем, а второй знаменателем.
Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала преобразовать их в неправильные дроби.
