Умножение и деление алгебраических дробей
Умножение дробей
Чтобы умножить одну алгебраическую дробь на другую, надо умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби (полученное произведение будет числителем результата) и отдельно умножить знаменатель первой дроби на знаменатель второй (полученное произведение будет знаменателем результата).
Правило умножения алгебраических дробей в виде формулы:
| a | · | c | = | ac | , |
| b | d | bd |
Пример. Выполнить умножение алгебраических дробей:
Решение: Перед тем, как приступать к умножению дробей, желательно разложить их числители и знаменатели на множители — это поможет сократить алгебраическую дробь, которая получится в результате:
Теперь сокращаем полученную дробь:
Чтобы умножить многочлен на алгебраическую дробь или алгебраическую дробь на многочлен, надо умножить многочлен на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений.
Пример. Выполнить умножение многочлена на алгебраическую дробь:
Разложим числитель на множители и сократим дробь:
Правило умножения алгебраической дроби на многочлен (или умножение многочлена на алгебраическую дробь) в виде формулы:
| a · | b | = | ab | или | b | · a | = | ab | , |
| c | c | c | c |
Возведение алгебраических дробей в степень
Чтобы возвести в степень алгебраическую дробь, надо возвести в эту степень отдельно её числитель и отдельно знаменатель.
Правило возведения алгебраических дробей в степень в виде формулы:
| ( | a | ) n = | a n | . |
| b | b n |
Пример. Выполнить возведение в степень:
| а) ( | a 2 | ) 3 ; б) (- | 2x 3 | ) 2 | . |
| b | y 2 |
| а) ( | a 2 | ) 3 = | (a 2 ) 3 | = | a 6 | ; |
| b | (b) 3 | b 3 |
| б) (- | 2x 3 | ) 2 = | (2x 3 ) 2 | = | 4x 6 | . |
| y 2 | (y 2 ) 2 | y 4 |
Деление дробей
Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо дробь, выступающую в качестве делителя, заменить на обратную ей дробь и после этого умножить первую дробь на вторую.
Правило деления алгебраических дробей в виде формулы:
| a | : | c | = | a | · | d | = | ad | . |
| b | d | b | c | bc |
Следовательно, частное двух дробей равно произведению первой дроби и перевёрнутой второй дроби.
Пример. Выполнить деление алгебраических дробей:
Решение: Переворачиваем делитель и умножаем дроби по правилам умножения:
Теперь можно приступать к сокращению полученной дроби:
Чтобы разделить многочлен на алгебраическую дробь, надо перевернуть дробь и выполнить умножение многочлена на полученную дробь по правилам умножения.
Правило деления многочлена на алгебраическую дробь в виде формулы:
| a : | b | = a · | c | = | ac | . |
| c | b | b |
Пример. Выполнить деление:
Чтобы разделить алгебраическую дробь на многочлен, надо представить многочлен в виде дроби и перевернуть её, затем выполнить умножение дробей по правилам умножения.
Правило деления алгебраической дроби на многочлен в виде формулы:
Умножение и деление алгебраических дробей
В этой статье мы продолжаем изучение основных действий, которые можно выполнять с алгебраическими дробями. Здесь мы рассмотрим умножение и деление: сначала выведем нужные правила, а затем проиллюстрируем их решениями задач.
Как правильно делить и умножать алгебраические дроби
Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей или разделить одну дробь на другую, нам нужно использовать те же правила, что и для обыкновенных дробей. Вспомним их формулировки.
Когда нам надо умножить одну обыкновенную дробь на другую, мы выполняем отдельно умножение числителей и отдельно знаменателей, после чего записываем итоговую дробь, расставив по местам соответствующие произведения. Пример такого вычисления:
2 3 · 4 7 = 2 · 4 3 · 7 = 8 21
А когда нам надо разделить обыкновенные дроби, мы делаем это с помощью умножения на дробь, обратную делителю, например:
2 3 : 7 11 = 2 3 · 11 7 = 22 7 = 1 1 21
Умножение и деление алгебраических дробей выполняется в соответствии с теми же принципами. Сформулируем правило:
Чтобы перемножить две и более алгебраические дроби, нужно перемножить отдельно числители и знаменатели. Результатом будет дробь, в числителе которой будет стоять произведение числителей, а в знаменателе – произведение знаменателей.
Для того чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно выполнить умножение первой дроби на дробь, обратную второй.
Отдельно остановимся на том, что такое обратная алгебраическая дробь. Она представляет из себя такую дробь, которая при умножении на исходную дает в итоге единицу. То есть такие дроби будут аналогичны взаимно обратным числам. Иначе можно сказать, что обратная алгебраическая дробь состоит из таких же значений, что и исходная, однако числитель и знаменатель у нее меняются местами. Так, по отношению к дроби a · b + 1 a 3 дробь a 3 a · b + 1 будет обратной.
Решение задач на умножение и деление алгебраических дробей
В этом пункте мы посмотрим, как правильно применять озвученные выше правила на практике. Начнем с простого и наглядного примера.
Решение
Сначала выполним умножение. Согласно правилу, нужно отдельно перемножить числители и знаменатели:
1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 1 · 3 · x · y ( x + y ) · ( x 2 + 5 )
Мы получили новый многочлен, который нужно привести к стандартному виду. Заканчиваем вычисления:
1 · 3 · x · y ( x + y ) · ( x 2 + 5 ) = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y
Теперь посмотрим, как правильно разделить одну дробь на другую. По правилу нам надо заменить это действие умножением на обратную дробь x 2 + 5 3 · x · y :
1 x + y : 3 · x · y x 2 + 5 = 1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y
Приведем полученную дробь к стандартному виду:
1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y = 1 · x 2 + 5 ( x + y ) · 3 · x · y = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2
Решение
Перед тем, как вычислять произведение, разложим на отдельные множители числитель первой исходной дроби и знаменатель второй. Для этого нам потребуются формулы сокращенного умножения. Вычисляем:
У нас получилась дробь, которую можно сократить:
О том, как это делается, мы писали в статье, посвященной сокращению алгебраических дробей.
Перемножив одночлен и многочлен в знаменателе, мы получим нужный нам результат:
Вот запись всего решения без пояснений:
В некоторых случаях исходные дроби перед умножением или делением удобно преобразовать, чтобы дальнейшие вычисления стали быстрее и проще.
После всех преобразований можем наконец перейти непосредственно к делению алгебраических дробей:
Как умножить или разделить алгебраическую дробь на многочлен
Решение
Начнем с замены многочлена дробью, далее действуем согласно основному правилу.
Умножение многочлена на многочлен
Определение многочлена
Прежде чем мы расскажем, как умножить один многочлен на другой многочлен, разберемся в основных понятиях.
Одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней.
Многочлен— алгебраическое выражение, которое представляет из себя сумму или разность нескольких одночленов.
Стандартный вид многочлена — представление многочлена в виде суммы одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных одночленов.
Как привести многочлен к стандартному виду:
Вспомним, как умножать многочлен на одночлен, двучлен на двучлен, трехчлен на трехчлен:
(a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd.
(a + b + c) * (x + y) = ax + bx + cx + ay + by + cy.
(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc.
Эти правила можно описать так: чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждый член первого умножить на каждый член второго многочлена. Затем полученные произведения сложить и привести результат к многочлену стандартного вида, если это возможно.
Правило умножения многочлена на многочлен
Рассмотрим пример, а после решения сформулируем правило умножения многочлена на многочлен:
Правило умножения многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и все полученные произведения сложить.
Алгоритм умножения многочлена на многочлен:
Рассмотрим пример умножения многочлена на многочлен:
(6x – 2a) * (4 – 3x).
Ответ: (6x – 2a) * (4 – 3x) = 24x – 18x 2 – 8a + 6ax.
Рассмотрим пример умножения трех многочленов:
(x – 2) * (3x + 1) * (4x – 3).
Ответ: (x – 2) * (3x + 1) * (4x – 3) = 12x 3 – 29x 2 + 7x + 6.
Теперь мы знаем все из темы умножения многочлена на многочлен. Осталось отточить на практике новый навык и ловить хорошие и отличные отметки на контрольных.
Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Примеры умножения многочлена на многочлен
Рассмотрим еще несколько примеров, чтобы закрепить пройденный материал.
Пример 1. Выполнить умножение многочленов:
2 − 3x и x 2 − 7x + 1.
Запишем произведение: (2 − 3x)(x 2 − 7x + 1).
Из полученных выражений составим сумму: 2x 2 + 2(−7x) + 2*1 − 3xx 2 − 3x(−7x) − 3x*1.
Чтобы убедиться, что мы все сделали правильно, посчитаем количество членов в полученной сумме. Их шесть. Так и должно быть, так как исходные многочлены состоят из 2 и 3 членов: 2 * 3 = 6.
Осталось полученную сумму преобразовать в многочлен стандартного вида:
Пример 2. Найти произведение трех многочленов:
x 2 + xy − 1, x + y и 2y − 3.
Запишем их произведение: (x 2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3).
Умножим первые два многочлена:
(x 2 + xy − 1)(x + y) = x 2 x + x 2 y + xyx + xyy − 1x − 1y = x 3 + 2x 2 y + xy 2 − x − y.
Таким образом: (x 2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3) = (x 3 + 2x 2 y + xy 2 − x − y)(2y − 3).
Снова выполним умножение двух многочленов:
(x 3 + 2x 2 y + xy 2 − x − y)(2y − 3) = x 3 2y + x 3 (−3) + 2x 2 y 2 y + 2x 2 y(−3) + xy 2 2y + xy 2 (−3) − x 2 y − x(−3) − y 2 y − y(−3) = 2x 3 y − 3x 3 + 4x 2 y 2 − 6x 2 y + 2xy 3 − 3xy 2 − 2xy + 3x − 2y 2 + 3y.
Ответ: (x 2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3) = 2x 3 y − 3x 3 + 4x 2 y 2 − 6x 2 y + 2xy 3 − 3xy 2 − 2xy + 3x − 2y 2 + 3y.
Умножение алгебраических дробей
При умножении алгебраических дробей используют правила умножения обыкновенных дробей.
Правило умножения алгебраических дробей
Рассмотрим пример умножения алгебраических дробей.
При сокращении алгебраических дробей используют правила сокращения алгебраических дробей.
Рассмотрим еще один пример умножения алгебраических дробей, которые содержат многочлены и в числителе, и в знаменателе.
При умножении алгебраических дробей, которые содержат многочлены и в числителе, и в знаменателе, заключайте многочлены в скобки целиком.
Неправильно
Правильно
Как умножить алгебраическую дробь на одночлен (букву)
Рассмотрим пример умножения алгебраической дроби на одночлен.
Представим одночлен « 21z 5 » как алгебраическую дробь со знаменателем « 1 ». Это можно сделать, так как при делении на « 1 » получается тот же самый одночлен.
При умножении алгебраической дроби не забывайте использовать правило знаков.
Рассмотрим пример умножения двух отрицательных алгебраических дробей.
Перед тем как перемножить алгебраические дроби, определим итоговый знак по правилу знаков: « минус на минус дает плюс ».
Значит, итоговым знаком произведения будет знак « + ».
Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно:
Рассмотрим пример умножения многочлена на многочлен.
Умножим последовательно первый одночлен « 6x » из первой скобки на оба одночлена второй скобки.
Затем умножим второй одночлен « −2a » первой скобки на оба одночлена второй скобки. Умножать одночлены будем по правилам умножения одночленов.
Не забывайте при умножении одночленов использовать правило знаков.
Результат умножения многочлена на многочлен будет всегда многочленом.
Примеры умножения многочлена на многочлен
Как умножить 3 многочлена
Чтобы умножить 3 или более многочленов нужно:
Другими словами, умножать несколько многочленов нужно последовательно. Рассмотрим пример умножения трёх многочленов.
Сначала умножим первый многочлен на второй, и их результат запишем в скобках.
Теперь перемножим получившийся многочлен и третий многочлен. Не забудем после умножения привести подобные одночлены.
