Как умножать комплексные числа

Как легко умножать и делить комплексные числа.

Ситуация немного усложняется, если у вас два числа, записанных в алгебраической форме. Однако и здесь разобраться можно за несколько минут. Можно вообще схитрить и сначала перевести числа из алгебраической формы в показательную. А затем поступить так, как описано выше.

Пример умножения двух чисел в алгебраической форме записи:

Трюк в том, что, если умножить любое комплексное число на его сопряженное, то мы всегда получим сумму квадратов двух чисел (можете проверить это, подставив комплексно-сопряженные числа в пример умножения, описанный выше):

Зная это, можно легко делить два числа в алгебраической форме:

Вот и все. Подведем итоги, записав алгоритм действий

Для комплексных чисел в показательной форме при их умножении:

Для комплексных чисел в показательной форме при их делении:

Для комплексных чисел в алгебраической форме при их умножении:

Для комплексных чисел в алгебраической форме при их делении:

Источник

Умножение комплексных чисел

Что такое комплексные числа и их умножение

В математических науках часто применяют при решении задач не только натуральные, рациональные и вещественные числа, но и комплексные.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В том случае, когда b = 0, комплексное число трансформируется в вещественное число. Исходя из этого, можно сделать вывод, что действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Запись данного заключения будет иметь следующий вид подмножества:

\(\mathbb \subset \mathbb\)

Следует отметить, что также допустимо равенство:

Согласно принятым правилам, мнимая часть комплексного числа записывается в виде:

Действительная часть комплексного числа представляет собой выражение:

Рассмотрев множество на примере, можно представить формулировку комплексно-сопряженных чисел.

Разница между записанными числами заключается в неодинаковых знаках перед действительным и мнимым компонентом чисел.

В математической науке для данных чисел предусмотрено несколько форм. Таким образом, одинаковые числа достаточно просто записать разными методами:

С помощью несложных манипуляций одну форму числа можно перевести в другой вариант записи. Алгебраическая запись является более распространенной. Однако допустимо изображать комплексные числа на плоскости. В итоге получим числа \(a,b \in \mathbb\) расположенные на соответствующих осях плоскости.

Справедливы следующие закономерности:

Умножить комплексные числа в алгебраической форме можно, таким образом:

Операция умножения комплексных чисел, записанных в показательном варианте, имеет следующий вид:

Разновидности формул умножения в зависимости от формы записи

Благодаря наличию специальных формул, можно оперативно выполнять различные операции с комплексными числами, включая примеры из тригонометрии. Теоретический порядок действий при умножении зависит от того, в какой форме записано комплексное число.

Формула умножения в алгебраической форме

Формула умножения в показательной форме

Если требуется найти произведение комплексных чисел, которые записаны в показательной форме, то целесообразно воспользоваться способом прямого перемножения всех элементов:

Формула умножения в тригонометрической форме

Найти произведение комплексных чисел, записанных с помощью тригонометрической формы, можно, таким образом:

\(z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2 \cdot (\cos(\varphi_1+\varphi_2) + i\sin(\varphi_1+\varphi_2))\)

Примеры решения задач с комплексными числами

Задача 1

Необходимо представить алгебраическую форму комплексного числа в виде тригонометрической и показательной записи. Комплексное число:

Решение

В первую очередь следует определить модуль комплексного числа:

Далее целесообразно найти аргумент:

В результате можно составить тригонометрическую форму комплексного числа, которое дано в условии задачи:

Таким же способом можно представить комплексное число в показательной форме:

Задача 2

Требуется найти произведение пары комплексных чисел:

Решение

В первую очередь следует записать выражение:

\(z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (2-3i)\)

Затем целесообразно приступить к раскрытию скобок и перемножить множители поэлементно:

\(z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (2-3i)= (3 \cdot 2 + 3 \cdot (-3i) + i \cdot 2 + i \cdot (-3i)\)

Полученное равенство можно упростить. Для этого нужно учитывать, что:

Запишем готовое выражение:

Задача 3

Даны комплексные числа:

Необходимо найти произведение этих комплексных чисел.

Решение

Вначале требуется записать выражение:

Путем перегруппировки множителей и применения свойства степени:

Задача 4

Даны комплексные числа:

\(z_1 = 2\bigg (\cos\frac<\pi> <3>+ i\sin \frac<\pi> <3>\bigg )\)

\(z_2 = 4 \bigg (\cos\frac<\pi> <4>+ i\sin \frac<\pi> <4>\bigg )\)

Требуется найти произведение этих комплексных чисел.

Решение

Если необходимо умножить комплексные числа, представленные в тригонометрической форме, то целесообразно сложить их аргументы и перемножить модули:

\(z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 4 \cdot \bigg ( \cos (\frac<\pi> <3>+ \frac<\pi><4>) + i\sin (\frac<\pi> <3>+ \frac<\pi><4>) \bigg ) = 8 \bigg (\cos \frac<7> <12>+ i\sin \frac<7> <12>\bigg )\)

Ответ: \(z_1 \cdot z_2 = 8 \bigg (\cos \frac<7> <12>+ i\sin \frac<7> <12>\bigg )\)

Задача 5

Необходимо выполнить несколько действий с комплексными числами:

Требуется найти их сумму и разность.

Решение

В первую очередь следует сложить комплексные числа. В этом случае нужно найти сумму соответствующих мнимых частей комплексных чисел:

Аналогичным способом можно найти разность комплексных чисел:

Задача 6

Даны комплексные числа:

Необходимо найти их произведение и выполнить деление комплексных чисел.

Решение

Вначале нужно записать выражение:

\(z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (5-2i)\)

Далее требуется раскрыть скобки и выполнить приведение подобных слагаемых с учетом, что:

Таким образом, получим:

Затем необходимо поделить первое число на второе:

Принцип деления заключается в исключении комплексного числа, которое расположено в знаменателе. Для того чтобы получить результат, необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю. По итогу следует раскрыть все скобки:

Поделив числитель на 29, можно записать дробь алгебраическим способом:

Задача 7

Дано комплексное число:

Данное число требуется возвести в степени:

Решение

Комплексное число достаточно просто возвести в квадрат, если умножить его само на себя:

\(z^2 = (3+3i)^2 = (3+3i)\cdot (3+3i) =\)

Применяя формулу, справедливую для умножения, следует раскрыть скобки и привести подобные:

Во втором варианте:

Данный пример отличается повышенной сложностью вычислений, по сравнению с первым примером, где потребовалось лишь возвести комплексное число в квадрат. Если пойти стандартным путем и умножать комплексное число само на себя 7 раз, то вычисления могут занять неопределенное время. Упростить задачу легко, если применить к решению формулу Муавра. Данная закономерность справедлива в случае операций с комплексными числами, которые записаны в тригонометрической форме. По условиям задачи число представлено в алгебраическом виде. Поэтому в первую очередь целесообразно перевести его в тригонометрическую форму.

Требуется найти модуль:

Далее следует вычислить аргумент:

\(\varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi><4>\)

Можно записать комплексное число в тригонометрической форме:

Возведение в степень n = 7 будет выглядеть следующим образом:

Представить наглядный ответ лучше в алгебраической форме. Для этого необходимо выполнить ряд манипуляций:

\(= 2187 \cdot 8 (1-i) = 17496(1-i)\)

Задача 8

Необходимо извлечь корень \(\sqrt[3]<-1>\) над множеством \(\mathbb.\)

Решение

Следует преобразовать комплексное число в тригонометрическую форму. Для этого необходимо найти значение модуля и аргумента:

\(\varphi = arctg \frac<0> <-1>+\pi = arctg 0 + \pi = \pi\)

В результате получим выражение:

\(z = (\cos \pi + i\sin \pi)\)

С помощью формулы Муавра представляется возможным найти значение корней какой-либо степени:

По условию степень соответствует n = 3. Таким образом, согласно формуле:

В результате получим:

Задача 9

Необходимо найти решение для квадратного уравнения:

\(x^2 + 2x + 2 = 0\) над \(\mathbb\)

Решение

Найти ответ на данную задачу следует, используя общую формулу. Для начала необходимо вычислить дискриминант:

В результате получим:

Однако на этом решение задачи не заканчивается. По условию требуется определить уравнение над комплексным множеством. Получение в итоге отрицательного дискриминанта говорит только о том, что в выражении отсутствуют вещественные корни. Это утверждение не отменяет наличие комплексных корней. Таким образом, следует их найти:

Можно отметить, что:

Далее следует продолжить вычисления:

В результате получаются комплексно-сопряженные корни:

Источник

Умножение комплексных чисел

Вы будете перенаправлены на Автор24

Умножение на число и умножение заданных комплексных чисел выполняются для чисел, представленных в любой форме записи.

Для умножения комплексных чисел на число воспользуемся определением и получим:

Готовые работы на аналогичную тему

Выполнить умножение комплексных чисел:

Для умножения комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

2) \[\begin \cdot z_ <2>=(\sqrt <3>+2i)\cdot (0+\sqrt <5>\cdot i)=\sqrt <3>\cdot 0+0\cdot 2i+\sqrt <3>\cdot \sqrt <5>\cdot i+2i\cdot \sqrt <5>\cdot i=0+0+\sqrt <15>\cdot i+2\sqrt <5>\cdot i^ <2>=\sqrt <15>\cdot i-2\sqrt <5>=-2\sqrt <5>+\sqrt <15>\cdot i> \end\]

Другими словами, произведение комплексно-сопряженных чисел есть квадрат модуля каждого из них.

Выполнить умножение комплексно-сопряженных чисел, используя замечание 1 и определение:

Для умножения комплексных чисел воспользуемся замечанием 1 и получим:

2) \[z\cdot \overline=(\sqrt <3>+2i)\cdot (\sqrt <3>-2i)=(\sqrt <3>)^ <2>+2^ <2>=3+4=7\]

Для умножения комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

Результаты выполнения операции умножения комплексных чисел совпадают.

\[z_ <1>\cdot z_ <2>=r_ <1>\cdot r_ <2>\cdot [\cos (\varphi _ <1>+\varphi _ <2>)+i\sin (\varphi _ <1>+\varphi _ <2>)].\]

Выполнить умножение комплексных чисел:

Для умножения комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

2) \[\begin \cdot z_ <2>=\left(4\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )\right)\cdot \left(5\cdot (\cos \frac<\pi > <2>+i\cdot \sin \frac<\pi > <2>)\right)=4\cdot 5\cdot [\cos (\pi +\frac<\pi > <2>)+i\cdot \sin (\pi +\frac<\pi > <2>)]=20\cdot (\cos \frac<3\pi > <2>+i\cdot \sin \frac<3\pi > <2>)> \end\]

Выполнить умножение комплексных чисел:

Для умножения комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 13 11 2021

Источник