Двоичное счисление: вычитание, сложение, умножение, деление
Двоичное счисление это
Двоичное счисление имеет в своей основе только две цифры: 0 и 1. Все числа записывают с помощью этих двух цифр. Основание двоичной системы счисления равно двум.
Двоичная система счисления применяется в компьютерной технике. Бит — это наименьшая единица информации. Слово «бит», по-английски bit, происходит от «binary digit», что значит «двоичная цифра». Бит может быть единицей или нулём, ведь в двоичной системе счисления имеются только две цифры: 0 и 1.
Двоичное счисление относится к позиционным системам счисления. Это значит, что значение двоичного числа связано с позициями цифр в нём. Пример: двоичные числа 1101 и 1011 составлены из одинакового количества единиц и нулей, но позиции их различны, значит и числа различны.
Вот таблица позиций числа 1101:
| цифра | 1 | 1 | 0 | 1 |
| позиция | 3 | 2 | 1 | 0 |
Теперь таблица позиций числа 1011:
| цифра | 1 | 0 | 1 | 1 |
| позиция | 3 | 2 | 1 | 0 |
Номера позиций начинаются с нуля.
Двоичные дроби
Дроби в двоичной системе счисления записывают как и в десятичной:
1101,1101
Таблица позиций числа 1101,1101
| цифра | 1 | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 0 | 1 |
| позиция | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 | -4 |
Перевод дробного двоичного числа в десятичное
Переведём двоичное дробное число 1101,1101 в десятичную дробь.
Таблица позиций числа 1101,1101
| цифра | 1 | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 0 | 1 |
| позиция | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 | -4 |
Степени 2 равны номеру позиции.
Итак, двоичное число 1101,1101 равно 13,8125 в десятичной системе счисления.
Двоичная система счисления: как сравнить два числа?
Двоичные числа сравнивают также, как и в десятичной системе счисления, примеры:
СТРАННАЯ ДЕВОЧКА
Но станет всё совсем обычным,
Когда поймёте наш рассказ.
С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе.
Объём памяти компьютера измеряется в байтах. Каждый байт может выражать букву, число, пробел, знак препинания или какой-либо другой символ. Количество символов, которые компьютер может хранить в оперативной памяти, меняется в широких пределах от вида компьютера и его модели.
Объём памяти, хотя он и измеряется в байтах, обычно выражается в килобайтах. Слово «килобайт», вообще говоря, означает «1000 байт». (Напомним, что приставка «кило» означает «тысяча».)
Фактически же килобайт равен 1024 байтам: 1 Кбайт = 1024 байт.
Компьютер с объёмом памяти в 64 К может хранить 64 х 1024 = 65536 символов.
Объём памяти первых микрокомпьютеров составлял всего лишь 2 Кб. Нынешние компьютеры имеют объём памяти 128, 256, 512, 1024 Мб и более
Объём памяти новейших компьютеров так велик, что она выражается в гигабайтах, т. е. в миллиардах байтов.
1 Мбайт = 1024 Кбайт = 1 048 576 байт.
Итак, каждый символ алфавитно-цифровой информации представляется в компьютере кодом из восьми двоичных цифр. Следовательно, каждый символ в компьютере имеет код объёмом 1 байт.
Информатика и образование
имеет в двоичной форме объём 25 байт: 23 буквы и 2 символа «пробел» по 1 байту.
61 байт * 45 строк = 2745 байт.
Так как в книге 258 страниц текста и на каждой странице в среднем по 2745 байт информации, то объём алфавитно-цифровой информации в книге
2745 байт * 258 страниц = 708210 байт » 692 Кбайт
Таким образом, текст книги имеет объём около 692 Кбайт.
Перевод чисел
Для перевода десятичного числа в двоичное надо разделить его на 2 и собрать остатки, начиная с последнего частного.
А вот как происходит перевод двоичного числа в десятичное:
ДРОБНЫЕ ЧИСЛА В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ
В любой системе счисления нужно уметь представлять не только целые числа, но и дробные. С математической точки зрения это ординарная задача, которая давно решена. Однако с точки зрения компьютерной техники это далеко не тривиальная проблема, во многом связанная с архитектурой компьютера. Ресурсы компьютеров не бесконечны, и основной трудностью является представление периодических и непериодических дробей. Следовательно, такие дроби следует округлять, задавать класс точности участвующих (и могущих появиться в результате вычислений!) чисел без потери точности вычислений, а также следить за тем, чтобы потеря точности не произошла при переводе чисел из одной системы счисления в другую. Особенно важно аккуратно производить вычисления при операциях с плавающей точкой.
Запишем формулу представления дробного числа в позиционной системе счисления:
В случае десятичной системы счисления получим:
Перевод дробного числа из двоичной системы счисления в десятичную производится по следующей схеме:
Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:
· Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления;
· Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления;
· В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;
· Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.
Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.
Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:
.792 • 2 = 1 .584
Получим: 206,11610=11001110,00011100112
Таблицу степеней первых восьми отрицательных степеней двойки
Двоичная арифметика
Над числами в двоичной системе счисления можно выполнять арифметические действия.
Двоичный калькулятор онлайн
Данный калькулятор может производить следующие действия над двоичными числами:
Сложение двоичных чисел
Сложение двух двоичных чисел производится столбиком поразрядно. Начиная с младшего разряда (справа на лево), как и при сложении столбиком десятичных чисел. Но так как цифр всего две (0 и 1), их сложение происходит по следующим правилам:
Пример
Для примера сложим 1011 и 101:
| + | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | ||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Вычитание двоичных чисел
Вычитание двоичных чисел производится аналогично сложению – столбиком, но по следующим правилам:
Пример
Для примера вычтем из числа 1011 число 101:
| − | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | ||
| 1 | 1 | 0 |
Умножение двоичных чисел
Умножение двоичных чисел производится в столбик аналогично умножению в десятичной системе, но по следующим правилам:
Пример
Для примера перемножим числа 1011 и 101:
| × | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | |||
| + | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 1 | 0 | 1 | 1 | ||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Деление двоичных чисел
Внешне деление двоичных чисел похоже на деление десятичных чисел, но тут есть свои нюансы: такое деление производится вычитанием делителя со сдвигом вправо, если остаток больше нуля. Чтобы понять этот процесс рассмотрим пример:
Умножение дробных чисел
Программы, приведенные ниже, реализуют умножение дробных двоичных чисел в дополнительном коде форматов 16-16=16, 17-17=17, 24-24 = 24 на основе обращения к соответствующим подпрограммам целочисленной арифметики, рассмотренным выше.
Выше отмечалось, что программы умножения целых беззнаковых чисел применимы и к умножению дробных беззнаковых чисел. Правильность этого утверждения можно показать на примерах умножения двоичных чисел, имеющих одинаковое начертание, но различающихся положением запятой (для простоты рассматриваются двухразрядные числа):
Очевидно, что начертания произведений дробных и целых чисел совпадают и отличаются лишь начальным положением запятой (неявным масштабным множителем). Следовательно, программы умножения целых беззнаковых чисел полностью применимы для умножения дробных беззнаковых чисел.
Аналогично можно использовать умножение целых беззнаковых двоичных чисел для получения модуля произведения дробных чисел со знаком:
Сравнивая начертания произведений целых и дробных чисел со знаком, легко заметить, что последние образуются путем сдвига изображения соответствующего целочисленного произведения на один разряд влево.
Методика умножения дробных знаковых чисел с использованием программ умножения целых чисел имеет следующий вид: 1) получение модулей сомножителей; 2) формирование их произведения с помощью программ целочисленной арифметики; 3) сдвиг произведения влево на один разряд; 4) преобразование модуля произведения в дополнительный код, если знаки сомножителей различны.
го умножения У32Б и трем вспомогательным подпрограммам ДОПВ, ДОПД, ДОПН:
В программе использовано округление произведения путем отбрасывания младших 16 разрядов полного произведения. Вспомогательные программы ДОПВ, ДОПД, ДОПН выполняют преобразование чисел, размещенных соответственно в регистровых парах (В, С), (D, Е) и (Н, L), в дополнительный код в соответствии с формулой (1.8):
Эти вспомогательные программы широко используются далее ‘при разработке арифметических программ.
Тестовые данные для программы УДФ16 приведены в табл. 1.12 (запятая в данных подразумевается после первого бита старшей шестнадцатеричной цифры).
Табл. 1.12. Тесты умножения формата 16-16=16 (дробные двоичные числа в дополнительном коде)
Программа УДФ17 в отличие от всех предыдущих программ умножения оперирует с сомножителями, размещенными не на регистрах, а в памяти системы, причем знак каждого сомножителя расположен в старшем разряде знакового байта, а цифровая часть сомножителя — в двух соседних байтах:
Программа УДФ17, как и УДФ16, использует обращение к подпрограмме беззнакового умножения У32Б и вспомогательным программам ДОПВ, ДОПД, но в отличие от программы УДФ16 не производит сдвига влево произведения, так как в данном случае цифровые части сомножителей можно интерпретировать как дробные беззнаковые числа. Кроме того, в программе УДФ17 используется при переходе от полноформатного произведения к сокращенному симметричный метод округления
Программа УДФ24, как и УДФ17, оперирует с сомножителями, размещенными в памяти, причем каждый сомножитель содержит три байта (СТБ, СРБ, МЛБ) со знаковым разрядом в старшем бите СТБ:
Программа преобразует сомножители в прямой код, обращаясь к вспомогательной программе ДОПЗ, которая реализует дополнение трехбайтного числа непосредственно в памяти:
Программа УДФ24 выполняет серию промежуточных умножений путем вызова подпрограмм У24А и У88Б1. Вычисление конечного произведения происходит по схеме, приведенной на рис. 1.7. Полноформатное произведение 24-24 = 48 содержит все шесть комбинаций промежуточных произведений форматов 8-8=16 и 8-16 = 24, образуемых умножением соответствующих байтов ММ и МН. Поскольку сокращенное произведение (заштриховано на рис. 1.7) содержит только три старших байта полного произведения, то, очевидно, нет необходимости вычислять все промежуточные произведения. В программе УДФ24 полностью используются промежуточные произведения ПР4, ПРЗ, ПР2 и частично (без своего МЛБ) ПРІ. Отбрасывание невычисляемых произведений СРБ2Х ХМЛБ1, МЛБ2 • МЛБІ и МЛБ ПРІ дает граничную абсолютную ошибку не более единицы младшего разряда сокращенного произведения. С учетом последующего сдвига произведения на один разряд влево эта ошибка увеличивается в два раза.
Табл. 1.13. Тесты умножения формата 24-24=24 (дробные двоичные числа в дополнительном коде)
Особенность алгоритма состоит в сложении (вычитании) в каждом цикле умножения СЧП и ММ в зависимости не от значения очередного разряда МН, как обычно, а от изменения очередного разряда множителя относительно его поедыдѵпіего пазояпа. Пои изменении видя
действию программа УДФ32 более чем в два раза проигрывает, но по затратам памяти на 29 % экономичнее (с учетом подпрограмм для УД32). Тестовые данные для программы УДФ32 можно легко получить из табл. 1.10.
СЛОЖЕНИЕ ДЕЛЕНИЕ УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ В ЛЮБОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ ОНЛАЙН
Этот калькулятор умеет осуществлять простейшие арифметические операции над числами. Причем числа могут быть введены в разных системах счисления.
Вам необходимо определиться сколько чисел вам необходимо посчитать и выбрать это количество в графе количество чисел.
Далее Вам необходимо ввести каждое число и выбрать его систему счисления. Если в указанном списке Вы не нашли нужной СС, то выберите пункт другая и введите числом основание вашей системы счисления.
После ввода всех чисел и выбора арифметических операций нажмите кнопку рассчитать.
Дата и время данного расчета 29.11.2021 8:05 МСК
Вычитание 21001-6753 в восьмеричной
Вы ввели выражение:210018-67538
Все числа находятся в восьмеричной системе счисления. Поэтому все расчеты будем выполнять в ней.
| . | . | . | . | ||
| — | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 6 | 7 | 5 | 3 | ||
| 1 | 2 | 0 | 2 | 6 |
Получилось: 210018-67538 = 120268
Вы пожелали видеть ответ в восьмеричной системе счисления
Результат расчета уже находится в нужной СС.
Постоянная ссылка на результат этого расчета
Вы можете отблагодарить нас:
Этот калькулятор умеет осуществлять простейшие арифметические операции над числами. Причем числа могут быть введены в разных системах счисления.
Теперь также введем число 11011 в двоичной системе счисления: 
Далее выбираем в поле «операция» вычитание и указываем что расчет должен быть выполнен в десятичной СС. Если мы хотим чтобы результат расчета был в двоичной СС, то указываем это как на скриншоте: 
Теперь нажимаем копку «Рассчитать» и смотрим результат: 
Если хотите посмотреть ход решения, то нажмите ссылку «Показать как оно получилось»
Если Вам необходимо рассчитать более двух чисел то выберите нужное количество в пункте «Количество чисел» Максимум 7 чисел.
При расчете сначала выполняются операции деления и умножения затем сложения и вычитания.
Вы можете выполнять операции расчета деления столбиком.
