Без калькулятора: умножаем большие числа в уме
В эру цифровых технологий у нас пропала необходимость запоминать телефоны и адреса, считать в голове. Даже ориентироваться на местности нам помогают гаджеты. Устный счет последний раз мы применяем в школе, а зря. Помимо удобства (ведь вы можете сами быстро все посчитать, не доставая смартфон), умение быстро умножать и делить здорово тренирует мозг. А если мозг не тренировать, он ленится, что приводит к ухудшению всех его функций и нашей продуктивности. Еще до времен повсеместного распространения вычислительных машин люди изобрели несколько лайфхаков устного счета. Рассмотрим их подробнее.
Гаусс — не только распределение
Еще когда будущий «король математиков» и автор закона, названного его именем, Карл Фридрих Гаусс отличался уникальными навыками. По легенде, примерно в возрасте 3 лет он заметил, что платежные ведомости его отца рассчитаны неправильно. После проверки оказалось, что мальчик был прав. В дальнейшем он продемонстрировал феноменальные математические способности. И некоторые лайфхаки устного счета называют тоже его именем.
Достаточно одной таблицы
Чтобы научиться перемножать любые числа, нам необходимо помнить таблицу умножения. Хитрость заключается в том, что любое большое число можно разложить на маленькие — те, что представлены в этой таблице. Суть умножения двух чисел заключается в многократном повторении одного из них. Например, 7 умножить на 3 — означает, что число 7 надо повторить 3 раза: 7+7+7 = 7*3 = 21.
Если перед нами стоит задача умножить однозначное число на многозначное, то достаточно разложить больше на маленькие по разрядам, т.е. сначала сотни, потом десятки, потом единицы. И по очереди их умножить на заданное число. Далее останется сложить эти произведения. Например, 254*7 = 200*7 + 50*7 + 4*7 = 1400 + 350 + 28 = 1778. Как мы видим, каждый разряд представляет собой однозначное число с определенным количеством нулей. Таким образом, нам нужно лишь помнить таблицу умножения, чтобы легко справиться с этой задачей.
Этот же способ применим для умножения двух двузначных чисел — их нужно так же разбить на однозначные и выполнить операцию последовательно. Допустим, наша задача умножить 67 на 43. 43 — это 40 + 3. А значит, 67 нужно умножить сначала на 40, затем на 3, и сложить эти произведения. Далее раскладываем 67 и производим ту же операцию. Получаем: 67*40 + 67*3 = 60*40 + 7*40 + 60*3 + 7*3 = 2400 + 280 + 180 + 21 = 2881.
Одиннадцать друзей умножения
Самый простой и интересный способ умножения двузначного числа — с использованием числа 11. Нужно всего лишь сложить между собой цифры, из которых состоит двузначное число. А по бокам поставить те же самые исходные 2 числа, которые мы складывали. Что получится, если 35 умножить на 11? Складываем 3 + 5 = 8, а по бокам ставим 3 и 5 — 385. Проверяем на калькуляторе. Но что делать, если сумма двух этих чисел больше 10? Куда что ставить? Нужно сделать все ровно так же, только при помощи наложения. Посмотрим на примере 83*11: 8 + 3 = 11. Посередине у нас стоит 11, справа 3, а к первому месту прибавляется 8, итого: 8 + 1 = 9 — это первое число. Далее у нас стояла единица, последней тройка. Собираем: 913. Проверяем. Вуаля!
Лайфхаки не тренировка
Конечно, само слово «лайфхак» подразумевает, что мы используем определенный прием, чтобы меньше напрягать мозг. При таком счете мозг тоже тренируется — ведь нам надо удерживать всю раскладку в голове, да еще и складывать эти элементы. Чтобы быстро выучить эти методики, а также дополнительно поддерживать функции мозга в тонусе, нам нужны полноценные тренировки. Они позволят освоить еще больше лайфхаков, быстро адаптироваться в незнакомых ситуациях и не теряться при виде больших данных.
Викиум разработал более 75 специальных — когнитивных тренажеров. Они развивают базовые (когнитивные) функции мозга комплексно, по запатентованной технологии. Программа составляет вам персональный план тренировок, следит за прогрессом, постепенно повышает нагрузку. Сами тренажеры выглядят как игровые задания с понятным интерфейсом — на них могут заниматься даже дети от 7 лет. В результате регулярных тренировок существенно увеличивается работоспособность мозга и ваша общая продуктивность. Занимайтесь каждый день всего по 10 минут и будьте в тонусе!
Приемы быстрого счета без калькулятора
Хоть и считается, что математика наводит ужас на значительную часть населения, но деньги считать умеют все. И вот как раз влет это умеют делать люди, далекие от математики.
Помнится, бабушка моего мужа показывала ему на пальцах таблицу умножения на 9. Никакого образования, только огромная практика торговли редиской и клубникой на рынке!
Так вот сегодня я предлагаю вам несколько интересненьких приемов устного счета. Ведь сколько бы замечательных гаджетов (телефоны, смартфоны, айподы и айпады, ай, да чего там…) своя голова она всегда лучше.
Устный счет — приемы
Итак, читаем, тут же проверяем и запоминаем приемы вычисления в уме.
1. Умножение на 11
Умножать на 11 чуть сложнее, чем умножать на 10. Закономерность здесь такая:
53 х 11 = 583
Шаг 1 — Складываем две цифры двузначного числа: 5 + 3 = 8
Шаг 2 — Помещаем результат между двумя числами двузначного числа: 583
59 х 11 = 649
Шаг 1 — 5 + 9 = 14
Шаг 2 — Перекидываем единицу налево, если сумма на предыдущем шаге оказалась больше 9: 5 + 1 = 6 (справа остается второй символ, в данном случае это четверка)
Шаг 3 — На первый символ мы единицу уже перекинули, получили 6. Далее у нас осталась 4, которую ставим в центр, и дописываем 9: 649
2. Быстрое возведение в квадрат
Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5.
85 х 85 = 7225
Шаг 1 — Умножаем первую цифру на первую цифру, увеличенную на единицу: 8 x (8 + 1) = 72
Шаг 2 — Дописываем к получившемуся результату 25: 7225
45 x 45 = 2025
Шаг 1 — 4 х (4 + 1) = 20
Шаг 2 — 2025
3. Умножение на 5
Большинство людей очень просто запоминает таблицу умножения на 5, но, когда приходится иметь дело с большими числами, сделать это становится сложнее. Или нет? Этот прием невероятно прост.
Возьмите любое число, разделите на 2 (другими словами, поделите пополам). Если в результате получилось целое число, припишите 0 в конце. Если нет, не обращайте внимание на запятую и в конце добавьте 5.
Это срабатывает всегда:
2682×5 = (2682 / 2) & 5 или 0
2682 / 2 = 1341 (целое число, поэтому добавьте 0)
13410
Давайте попробуем другой пример:
5887×5
2943,5 (дробное число, пропустите запятую, добавьте 5)
29435
4. Умножение на 9
Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9×3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9×3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.
5. Умножение на 4
Это очень простой прием, хотя очевиден лишь для некоторых. Хитрость в том, что нужно просто умножить на 2, а затем опять умножить на 2:
58×4 = (58×2) + (58×2) = (116) + (116) = 232
6. Подсчет чаевых
Если вам нужно оставить 15% чаевых, есть простой способ сделать это.
И, как следствие): чтобы умножить число на 1,5 нужно к исходному числу прибавить его половину. Например,
7. Сложное умножение
Если вам нужно умножать большие числа, причем одно из них — четное, вы можете просто перегруппировать их, чтобы получить ответ:
32×125 все равно, что:
16×250 все равно, что:
8×500 все равно, что:
4×1000 = 4,000
8. Деление на 5
На самом деле делить большие числа на 5 очень просто. Все, что нужно,— просто умножить на 2 и перенести запятую: 195 / 5
Шаг1: 195×2 = 390
Шаг2: Переносим запятую: 39,0 или просто 39.
2978 / 5
Шаг1: 2978×2 = 5956
Шаг2: 595,6
9. Вычитание из 1000
Чтобы выполнить вычитание из 1000, можете пользоваться этим простым правилом: Отнимите от 9 все цифры, кроме последней. А последнюю цифру отнимите от 10:
Шаг1: от 9 отнимите 6 = 3
Шаг2: от 9 отнимите 4 = 5
Шаг3: от 10 отнимите 8 = 2
Ответ: 352
И, напоследок, несколько математических трюков:
Интересные результаты:
1 х 1 = 1
11 х 11 = 121
111 х 111 = 12321
1111 х 1111 = 1234321
11111 х 11111 = 123454321
111111 х 111111 = 12345654321
1111111 х 1111111 = 1234567654321
11111111 х 11111111 = 123456787654321
111111111 х 111111111 = 12345678987654321
1 х 9 + 2 = 11
12 х 9 + 3 = 111
123 х 9 + 4 = 1111
1234 х 9 + 5 = 11111
12345 х 9 + 6 = 111111
123456 х 9 + 7 = 1111111
1234567 х 9 + 8 = 11111111
12345678 х 9 + 9 = 111111111
123456789 х 9 + 10 = 1111111111
9 х 9 + 7 = 88
98 х 9 + 6 = 888
987 х 9 + 5 = 8888
9876 х 9 + 4 = 88888
98765 х 9 + 3 = 888888
987654 х 9 + 2 = 8888888
9876543 х 9 + 1 = 88888888
98765432 х 9 + 0 = 888888888
1 х 8 + 1 = 9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321
Любимая цифра.
Предложите задумать свою любимую цифру. А теперь выполните умножение (на калькуляторе) числа 15873 на любимую цифру, умноженную на 7. Например, если любимая цифра 5, то умножить нужно на 35. Получится произведение, записанное только любимой цифрой.
Возможен и второй вариант: умножить число 12345679 на любимую цифру, умноженную на 9, в нашем случае это число 45.
Объяснение этого фокуса достаточно простое: если умножить 15873 на 7, то получится 111111, а если умножить 12345679 на 9, то получится 111111111.
Угадать возраст.
Умножаем число своих лет на 10, затем любое однозначное число умножить на 9, из первого произведения вычесть второе и сообщить полученную разность. В этом числе “фокусник” должен цифру единиц сложить с цифрой десятков – получится число лет.
Всегда девятка
Предложите кому-нибудь написать число из трех разных цифр, под ним — написать число из этих же цифр, но в обратном порядке. Затем вычесть меньшее из большего. Когда зритель это сделает, скажите ему, что в середине числа стоит девятка.
Секрет фокуса: Вы будете правы, потому что девятка всегда будет в середине независимо от того, какие цифры написаны.
Эта инструкция научит вас умножать тысячи в уме. Сколько будет 5185 на 8018?
В школе всё время слышал «где мне пригодится эта математика?».
И сам задавался таким вопросом. А сейчас вот не хватает учебника для «раскачки» извилин. Например, было бы заметно удобнее считать утерянные цены на Apple или выравнивать пиксельную сетку для иллюстраций.
Но не всё потеряно. Умножать числа в любом возрасте считают проверенным способом подточить ум и даже улучшить психическое здоровье.
Ниже расскажу, где оно ещё может пригодиться и что за секретный способ умножения прокачает ваше знание цифр до уровня интуиции.
Крупный счёт прокачает решение бытовых вопросов
Как любому компьютеру нужно расширять оперативную память, так и нашему мозгу нужен отсек для быстрых операций.
Тренировки с умножением укрепят краткосрочную память. Вы перестанете забывать, закрыли ли дверь на ключ, сколько яиц лежало в холодильнике перед походом в магазин и о чём вели речь после того, как отвлеклись.
Не говоря о том, что будете мгновенно считать, во сколько обойдётся вон тот сочный кусок мяса на шашлык или заправка автомобиля, чтобы доехать до соседнего города.
Вам нужна только математика начальной школы
Чтобы умножать без бумаги, нужно на уровне рефлекса освоить два навыка:
I. Знать таблицу умножения
II. Складывать числа
Пункты важны, потому что будете десятки раз повторять операции. Получается просто, но много.
Отточить умножение поможет приложение УмноЖатель
Уделяйте тренировке не больше пяти минут за подход. Потом запоминать сложнее, а после тройки долгих сессий цифры начнут раздражать.
Быстро складывать получится точно таким же постоянным запоминанием.
Почти нигде не просят знать таблицу сложения, а она есть. Если до десяти цифры знают почти все, то после этого порога начинается ступор.
На лету вспомнить, какое число будет в следующем десятке полезнее в жизни, чем любое другое вычисление. Поэтому качайте и запоминайте.
Ещё один способ сложения, которого некоторые стесняются – довод до десятка. Это когда к одному числу сначала добавляют до круглого значения часть из второго, а потом плюсуют остаток:
В этом способе нет ничего стыдного, он эффективен, и с практикой доводится до автоматизма.
Когда научитесь на лету умножать и складывать элементарные значения, вставайте на продвинутый уровень: расчёты четырёхзначных чисел.
Операции с умножением тысячей в уме можно разделить на два типа: умножение на однозначные и многозначные числа.
Как умножить тысячи на однозначное число
Чтобы получить ответ на, допустим, пример 3864∙7, вам поможет система Разбить-умножить, разбить-сложить.
Так выглядит алгоритм:
1. Разбиваем большое число на единицы, десятки, сотни и так далее.
3864 = 3000 + 800 + 60 + 4
2. Умножаем каждый кусочек на второе число.
3000∙7 = 21000 | 800∙7 = 5600 | 60∙7 = 420 | 4∙7 = 28
3. Разбиваем результаты на простые группы одного размера.
21000 = 20000+1000 | 5600=5000+600 | 420 = 400+20 | 28 = 20+8
20000 | 1000+5000 | 600+400 | 20+20 | 8
4. Складываем группы с конца.
20000 + 1000+5000 + 600+400 + 20+20 + 8
20000 + 6000 + 1000 + 40 + 8
Хотя на бумаге способ получается долгим, через несколько дней тренировка даст заметные результаты в скорости. У вас улучшится краткосрочная память, и вместимость чисел для сложения постепенно увеличится.
Важнее всего не потерять куски при последнем сложении. Этот этап доведёте до автомата постоянной практикой.
Отличие метода от привычного столбика в том, что мы постоянно дробим элементы на лёгкие частицы, которые быстро складываются.
Как умножить тысячи на многозначное число
Здесь поможет система Якова Трахтенберга. Во время заключения нацистами математик нашёл способ счёта особо крупных чисел в уме.
Запомните метод как Принцип снежинки.
В качестве примера решим 5362∙2934. Алгоритм такой:
0. Представьте числа привычным столбиком.
1. Перемножьте конечные (2∙4) цифры сверху и снизу.
Предпоследнюю цифру при наличии держим в уме (0), последнюю отправляем в результат (8): ** *** **8.
2. Перемножьте предпоследнюю цифру верхнего числа на последнюю нижнего (6∙4) и наоборот (3∙2).
Сложите результаты с тем, что храните в уме (24+6+0=30).
Держим остаток (3), а последнее число ставим в итог слева от предыдущего (0): ** *** *08.
3. Умножьте вторую цифру верхнего числа на последнюю нижнего (3∙4) и наоборот (9∙2).
Сложите результаты (12+18=30), а к ним добавьте умноженные друг на друга третьи цифры (6∙3) и остаток в уме (30+18+3=51).
Получили десяток в уме (5) и третью с конца цифру (1): ** *** 108.
4. Умножьте первую цифру сверху на последнюю снизу (5∙4) и наоборот (2∙2).
Умножьте вторую цифру сверху на третью снизу (3∙3) и наоборот (9∙6).
Сложите четыре числа и пятое из ума (20+4+9+54+5=92).
Получили десяток в уме (9) и четвёртую с конца цифру (2): ** **2 108.
5. Умножьте первую цифру верхнего числа на третью нижнего (5∙3) и наоборот (2∙6).
Сложите результаты, а к ним добавьте умноженные друг на друга вторые числа (3∙9) и остаток в уме (15+12+27+9=63).
Получили десяток в уме (6) и пятую с конца цифру (3): ** *32 108.
6. Умножьте первую цифру верхнего числа на вторую нижнего (5∙9) и наоборот (2∙3).
Сложите результаты с остатком в уме (45+6+6=57).
Получили десяток в уме (5) и пятую с конца цифру (7): ** 732 108.
7. Умножьте первую цифру верхнего числа на первую нижнего (5∙2).
Сложите результат с остатком в уме (10+5=15).
Запишите всё число перед итоговым: 15 732 108.
Если ваш множитель двух- или трёхзначный, то вместо недостающих цифр нижнего ряда подставляйте нули. В таком случае последним этапом будет тот, где вы умножаете максимальное количество пар.
Принцип снежинки намного проще, чем умножать столбиком. Вам не нужно держать в уме много крупных чисел сразу.
Важна только структура: запомните нарастающий порядок умноженных пар и что с чем нужно складывать.
Единственной сложностью останется запомнить результат, который вы постепенно выстраиваете.
Чаще тренируйте память вариантами проще, например, умножением двух- и трёхзначными числами в приложении Устный счёт.
И тогда сможете считать миллионы, не коснувшись бумаги.
Долой калькулятор: 12 простых трюков, которые помогут вам быстро считать
Просто, как дважды два.
Как бы мы ни хотели это признавать, учителя были правы: математика нужна каждому из нас. Но далеко не всем дается ловкое жонглирование числами. Тогда на помощь приходят легко запоминающиеся математические приемы – настоящее спасение, когда под рукой, как назло, нет калькулятора.
Ниже вы найдете 12 способов быстрых вычислений для всех, кто далек от точных наук.
1. Быстрое вычисление 20%
Представим, что границы вновь открыли и первым делом вы отправились в США. А там принято оставлять на чай. Обычно размер чаевых составляет 15-20% от суммы вашего заказа.
По словам Кейт Сноу, автора серии книг The Math Facts That Stick, чтобы быстро вычислить 20% от суммы, вам нужно просто разделить число в чеке на 5.
Например, вы поели на 85 долларов. Разделите 85 на 5, и у вас получится 17 долларов – чаевые, которые вы должны оставить официанту.
2. Умножение двузначных чисел на 11
Умножить число на 11 очень легко с помощью хитрого трюка от math.hmc.edu. Просто сложите две цифры и поместите полученную сумму в середину числа.
Например, вы умножаете 25 на 11. Если сложить 2 и 5, получится 7. Теперь расположите 7 между 2 и 5, чтобы найти окончательный ответ – 275.
3. Быстрое удвоение
Чтобы удвоить большое число, умножьте каждую цифру на 2 и сложите их между собой. Кейт Сноу предлагает начинать слева – так будет легче.
«Чтобы удвоить, к примеру, 147, начните с разряда сотен. Если умножить 100 на 2, получится 200. 40 на 2 – 80. 7 на 2 – 14. Теперь сложите числа между собой (200 + 80 + 14), и вы получите 294», – объясняет Сноу.
4. Умножение чисел, которые оканчиваются на ноль
Примеры с большими пугающими числами, которые оканчиваются на ноль, тоже легко решить с помощью специального приема. Согласно education.cu-portland.edu, нужно просто «вычеркнуть» нули из примера, а в конце вновь их добавить.
Если вы умножаете 600 на 400, уберите все нули и перемножьте 6 на 4. Получится 24. Затем подсчитайте общее количество нулей в исходном уравнении и припишите их к полученному значению. Так как в нашем примере было четыре нуля, то ответ будет равен 240000.
5. Умножение на 9
Если вам так и не удалось выучить таблицу умножения – не переживайте. По словам Сноу, чтобы легко умножить число на 9, нужно умножить его на 10 и вычесть исходное число из полученного значения.
Например, вам нужно умножить 9 на 23. Для этого умножаем 23 на 10 и получаем 230. А затем вычитаем из него 23, чтобы получить окончательный ответ – 207.
6. Деление на 10, 100 или 1000
Разделить число на 10 проще простого – согласно Сноу, «нужно просто переместить десятичный знак на одну позицию влево от исходного числа, чтобы найти ответ».
Для деления на 100 применим тот же метод, за исключением одного – нужно переместить десятичный разряд на две позиции левее исходного числа. Что касается деления на 1000, просто переместите десятичный знак на три позиции влево.
Например, если вы делите 42,94 на 10, вы просто перемещаете десятичный знак на одну позицию влево и получаете 4,294.
7. Умножение на 10, 100 или 1000
Здесь все работает с точностью до наоборот. Чтобы умножить число на 10, переместите десятичный знак на одну позицию вправо. На 100 – на две позиции. На 1000 – на три позиции.
Например, если вам нужно умножить 366,78 на 100, передвиньте десятичный знак на две цифры вправо, чтобы получить ответ 36678.
8. Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную
Согласно businessinsider.com, нужно выполнить всего 3 шага, чтобы легко превратить бесконечную десятичную дробь в обыкновенную, с числителем и знаменателем.
9. Умножение на 25
Умножать на 25 не так уж и сложно, если представлять число в виде дроби 100/4. В этом случае все, что вам нужно сделать, это разделить число на 4 и умножить на 100.
Например, вам нужно умножить 84 на 25. Сначала делим 84 на 4 – получаем 21, а потом умножаем значение выражения на 100. Ответ: 2100.
10. Возведение чисел, оканчивающихся на 5, в квадрат
«Этот математический трюк подразумевает 2 шага», – объясняет Сноу. Чтобы возвести в квадрат число, которое оканчивается на пять, возьмите первую цифру числа и умножьте ее на себя. После этого прибавьте к полученному результату первую цифру и припишите к ответу 25. Кружится голова? Разберем на примере.
Если вы умножаете 35 на 35, сначала умножьте 3 на 3 – получится 9, – и прибавьте 3 к ответу – получится 12. Теперь припишите 25 в конец найденного числа, и вы найдете окончательный ответ: 1225.
11. Вычитание путем сложения
Если вам кажется, что сложение немного проще, чем вычитание, этот трюк для вас. Когда вам нужно найти разность двух чисел, достаточно близких друг к другу, попробуйте решить пример с помощью сложения.
«Вместо того чтобы пытаться вычесть 327 из 334, представьте это в виде суммы: мол, сколько нужно добавить к 327, чтобы получить 334?» – объясняет Сноу.
12. Сложение чисел, оканчивающихся на 99
Если вы пытаетесь прикинуть, во сколько обойдутся продукты, стоимость которых заканчивается на 99, – калькулятор не нужен. Все, что необходимо сделать, – прибавить 100 вместо 99, а потом вычесть единицу.
Сноу объясняет этот процесс на примере 176 + 199 = 375. «Если к 176 мы прибавим 200, то получим 376, – говорит эксперт. – Поскольку вы добавили на единицу больше, чем вам нужно, вычтите ее из 376, чтобы найти правильный ответ: 375».
