Как указать параллельные прямые

Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых.

Эта статья о параллельных прямых и о параллельности прямых. Сначала дано определение параллельных прямых на плоскости и в пространстве, введены обозначения, приведены примеры и графические иллюстрации параллельных прямых. Далее разобраны признаки и условия параллельности прямых. В заключении показаны решения характерных задач на доказательство параллельности прямых, которые заданы некоторыми уравнениями прямой в прямоугольной системе координат на плоскости и в трехмерном пространстве.

Навигация по странице.

Параллельные прямые – основные сведения.

Напомним сначала определения параллельных прямых, которые были даны в статьях прямая на плоскости и прямая в пространстве.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Две прямые в трехмерном пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Обратите внимание, что оговорка «если они лежат в одной плоскости» в определении параллельных прямых в пространстве очень важна. Поясним этот момент: две прямые в трехмерном пространстве, которые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости не являются параллельными, а являются скрещивающимися.

Приведем несколько примеров параллельных прямых. Противоположные края тетрадного листа лежат на параллельных прямых. Прямые, по которым плоскость стены дома пересекает плоскости потолка и пола, являются параллельными. Железнодорожные рельсы на ровной местности также можно рассматривать как параллельные прямые.

Озвучим утверждение, которое играет важную роль при изучении параллельных прямых на плоскости: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Это утверждение принимается как факт (оно не может быть доказано на основе известных аксиом планиметрии), и оно называется аксиомой параллельных прямых.

Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых (ее доказательство Вы можете найти в учебнике геометрии 10-11 класс, который указан в конце статьи в списке литературы).

Признаком параллельности прямых является достаточное условие параллельности прямых, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямых. Иными словами, выполнение этого условия достаточно для того, чтобы констатировать факт параллельности прямых.

Также существуют необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в трехмерном пространстве.

Поясним смысл фразы «необходимое и достаточное условие параллельности прямых».

С достаточным условием параллельности прямых мы уже разобрались. А что же такое «необходимое условие параллельности прямых»? По названию «необходимое» понятно, что выполнение этого условия необходимо для параллельности прямых. Иными словами, если необходимое условие параллельности прямых не выполнено, то прямые не параллельны. Таким образом, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – это условие, выполнение которого как необходимо, так и достаточно для параллельности прямых. То есть, с одной стороны это признак параллельности прямых, а с другой стороны – это свойство, которым обладают параллельные прямые.

Прежде чем сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности прямых, целесообразно напомнить несколько вспомогательных определений.

Секущая прямая – это прямая, которая пересекает каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

При пересечении двух прямых секущей образуются восемь неразвернутых углов. В формулировке необходимого и достаточного условия параллельности прямых участвуют так называемые накрест лежащие, соответственные и односторонние углы. Покажем их на чертеже.

Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.

Покажем графическую иллюстрацию этого необходимого и достаточного условия параллельности прямых на плоскости.

Заметим, что эти условия можно использовать и в трехмерном пространстве – главное, чтобы две прямые и секущая лежали в одной плоскости.

Приведем еще несколько теорем, которые часто используются при доказательстве параллельности прямых.

Если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака следует из аксиомы параллельных прямых.

Существует аналогичное условие параллельности прямых в трехмерном пространстве.

Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака рассматривается на уроках геометрии в 10 классе.

Проиллюстрируем озвученные теоремы.

Приведем еще одну теорему, позволяющую доказывать параллельность прямых на плоскости.

Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.

Существует аналогичная теорема для прямых в пространстве.

Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.

Изобразим рисунки, соответствующие этим теоремам.

Все сформулированные выше теоремы, признаки и необходимые и достаточные условия прекрасно подходят для доказательства параллельности прямых методами геометрии. То есть, чтобы доказать параллельность двух заданных прямых нужно показать, что они параллельны третьей прямой, или показать равенство накрест лежащих углов и т.п. Множество подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе. Однако следует отметить, что во многих случаях удобно пользоваться методом координат для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве. Сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых, которые заданы в прямоугольной системе координат.

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат.

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат, то прямую линию в этой системе координат определяет уравнение прямой на плоскости некоторого вида. Аналогично прямую линию в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве задают некоторые уравнения прямой в пространстве.

В этом пункте статьи мы сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от вида уравнений, определяющих эти прямые, а также приведем подробные решения характерных задач.

Для параллельности двух несовпадающих прямых на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, или нормальные векторы этих прямых были коллинеарны, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору второй прямой.

Если прямую a и прямую b в прямоугольной системе координат определяют канонические уравнения прямой на плоскости вида и , или параметрические уравнения прямой на плоскости вида и соответственно, то направляющие векторы этих прямых имеют координаты и , а условие параллельности прямых a и b записывается как .

Разберем решения нескольких примеров.

Параллельны ли прямые и ?

нет, прямые не параллельны.

Являются ли прямые и параллельными?

Приведем каноническое уравнение прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом: . Очевидно, что уравнения прямых и не одинаковые (в этом случае заданные прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, следовательно, исходные прямые параллельны.

Второй способ решения.

заданные прямые параллельны.

Чтобы доказать параллельность прямых в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве пользуются следующим необходимым и достаточным условием.

Для параллельности несовпадающих прямых в трехмерном пространстве необходимо и достаточно, чтобы их направляющие векторы были коллинеарны.

Разберемся с применением условия параллельности прямых в пространстве при решении примера.

Докажите параллельность прямых и .

Нам заданы канонические уравнения прямой в пространстве вида и параметрические уравнения прямой в пространстве вида . Направляющие векторы и заданных прямых имеют координаты и . Так как , то . Таким образом, выполнено необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых в пространстве. Этим доказана параллельность прямых и .

Источник

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых

Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).

Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:

На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).

Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.

На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.

Признаки параллельности прямых

Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):

Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: (Рис.8).

Докажем, что .

Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).

Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).

Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, . Тогда и .

означает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны.

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например (Рис.11).

Так как углы 2 и 3 вертикальные, то . Тогда из и следует, что . Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны.

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например (Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. . Из и следует, что . Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.

Источник

Параллельные прямые

Параллельные прямые – подарок судьбы в решении многих задач.

Они дают тебе множество равных углов! И на них основывается много признаков фигур.

Что, безусловно, будет очень полезно.

Читай эту статью – будешь знать о них все!

И получишь заслуженные баллы на ЕГЭ.

Параллельные прямые — коротко о главном

Параллельные прямые – это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали: \( \displaystyle a\parallel b\).

Секущая – прямая, пересекающая две параллельные прямые: \( \displaystyle c\).

Аксиома параллельных прямых: через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

\( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 6\), \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle5\) – внутренние накрест лежащие углы;

\( \displaystyle \angle 5\) и \( \displaystyle \angle 4\), \( \displaystyle \angle 6\) и \( \displaystyle \angle 3\) – внутренние односторонние углы;

\( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 8\), \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 7\) – внешние односторонние углы;

\( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 5\), \( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 8\), \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 6\), \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle 7\) – соответственные углы.

Свойства параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:

внутренние накрест лежащие углы равны: \( \displaystyle \angle 3=\angle 5\), \( \displaystyle \angle 4=\angle 6\);

соответственные углы равны: \( \displaystyle \angle 1=\angle 5\), \( \displaystyle \angle 4=\angle 8\), \( \displaystyle \angle 2=\angle 6\), \( \displaystyle \angle 3=\angle 7\);

сумма любых двух внутренних односторонних углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \): \( \displaystyle \angle 3+\angle 6=180<>^\circ \), \( \displaystyle \angle 4+\angle 5=180<>^\circ \);

сумма любых двух внешних односторонних углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \): \( \displaystyle \angle 1+\angle 8=180<>^\circ \), \( \displaystyle \angle 2+\angle 7=180<>^\circ \).

Признаки параллельных прямых

Определение параллельных прямых

Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали.

Принято обозначение:

\( \displaystyle a//b\) – читается как \( \displaystyle a\) параллельна \( \displaystyle b\).

Самым важным фактом, который нужно принять без доказательства (не только тебе, но и любому математику) для того, чтобы вся геометрия не развалилась и не превратилась в какую-то неузнаваемую теорию, является так называемая «аксиома параллельных прямых».

Часто ее еще называют «пятый постулат Евклида». Формулируем:

Аксиома параллельных прямых или пятый постулат Евклида

Через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Смотри: через любую точку \( \displaystyle A\) проходит только одна прямая \( \displaystyle b\), которая параллельна \( \displaystyle a\), все остальные будут пересекать прямую \( \displaystyle a\).

Казалось бы: чего проще – ну, одна так одна…

Но ты себе просто не представляешь, сколько споров вели математики на протяжении прямо-таки тысячелетий, прежде чем осознали истинную роль этой аксиомы о параллельных прямых.

В конце концов, уже в 19-м веке, после открытий Лобачевского, Гаусса и других ученых стало ясно, что можно построить и другие виды геометрии, в которых не выполняется аксиома параллельных прямых, в которых ее можно выбросить, но эти геометрии уже оказываются не геометриями плоскости, а геометриями на каких-то хитрых поверхностях.

А наша привычная плоскость оттого и называется евклидовой, что при построении геометрии на ней, при решении всех задачек и доказательстве теорем мы считаем этот многострадальный пятый постулат Евклида выполнимым.

Ну вот, а теперь возникает два вопроса:

Ответ на первый вопрос называется «свойства параллельных прямых», а ответ на второй вопрос называется «признаки параллельных прямых».

Но прежде нам понадобится много названий, которые нужно запомнить, как таблицу умножения.

Термины: секущая, внутренние и внешние углы

Итак, ситуация: две прямые пересечены третьей (она называется секущей )

Получается куча углов. Целых \( \displaystyle 8\) штук.

Приняты такие названия этих углов:

\( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 6\) называются внутренними накрест лежащими углами

\( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle5\) – тоже внутренние накрест лежащие углы.

Название говорит само за себя: \( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 6\), так же, как и \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle5\) лежат «накрест» — по разные стороны от секущей и «внутри», между прямыми \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\).

Они лежат с одной стороны от секущей и «внутри» между прямыми \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\).

\( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 8\) (а еще \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 7\)) называются внешними односторонними углами (ты уже догадался, почему?)

И последнее название: соответственные углы.

Обрати внимание, \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 5\) лежат в одинаковых «соответственных» местах около точек \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\). То же можно сказать и об остальных перечисленных парах – посмотри на рисунок.

Свойства параллельных прямых

Напоминаем (а то отвлеклись на названия), что пытаемся ответить на вопрос: если \( \displaystyle a//b\), то что?

Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:

Запомни – все задачи с участием слова «параллельность» решаются с помощью этой теоремы о свойствах параллельных прямых.

А теперь, наоборот, признаки параллельных прямых.

Признаки параллельных прямых

То есть, как бы узнать, что прямые параллельны?

Если две прямые (\( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\)) пересечены третьей и оказалось, что:

то прямые \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) – параллельны

Источник