Дробь равна нулю
Когда дробь равна нулю?
Дробная черта — это знак деления. При делении нуля на любое число, кроме нуля, получим нуль. На нуль делить нельзя.
Таким образом, дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Решение многих задач в алгебре сводится к решению дробно рациональных уравнений, которые, в свою очередь, сводятся к уравнению типа «дробь равна нулю».
Схематически решение уравнения типа «дробь равна нулю» можно изобразить так:
Таким образом, чтобы решить уравнение типа «дробь равна нулю», надо:
1) Найти значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль.
2) Приравнять к нулю числитель и решить получившееся уравнение.
3) Проверить, нет ли среди корней уравнения «числитель равен нулю» значений, при которых знаменатель обращается в нуль. Если есть, их следует исключить.
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе
Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль:
Можно приравнять выражение, стоящее в левой части неравенства, к нулю, и решать как обычное неполное квадратное уравнение. Можно решать как уравнение, только вместо знака равенства каждый раз писать «≠».
При этих значениях переменной выражение, стоящее в левой части уравнения, не имеет смысла (так как на нуль делить нельзя).
Решаем уравнение, в котором числитель равен нулю.
Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:
Первый из корней — посторонний (он не удовлетворяет условию x≠7), поэтому в ответ записывает только корень 3. Ответ: 3.
Это уравнение равносильно системе
Его корни — значения переменной, при котором выражение, стоящее в левой части уравнения, не имеет смысла.
Общий множитель 4x выносим за скобки
Второй корень не подходит (он не удовлетворяет условию x≠0,5).
Переходим к решению уравнения 3x-12=0. Это — линейное уравнение. Неизвестное — в одну сторону, известное — в другую с противоположным знаком:
Полученный корень является посторонним, так как не удовлетворяет условию x≠4. Значит, исходное уравнение типа «дробь равна 0» корней не имеет.
Решаем квадратное уравнение
Так как D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень
Теперь решаем уравнение
Посторонних корней нет (оба корня удовлетворяют условию x≠1/4).
Решение уравнений «дробь равна нулю», описание метода, примеры
В чем состоит метод решения и на чем он базируется?
Базируется метод на следующем утверждении:
Докажем это утверждение в следующем пункте.
Обоснование метода
Начнем с доказательства частных случаев.
Первая часть доказана. Приступаем к доказательству второй части.
Так доказана вторая часть и все утверждение в целом.
Алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю»
Доказанное утверждение позволяет записать алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю»:
Решение примеров
Рассмотрим решения трех характерных уравнений «дробь равна нулю»: с нулем в числителе, с отличным от нуля числом в числителе, и с выражением с переменной в числителе. Ими мы закроем все три типичные ситуации.
Сначала решим уравнение с нулем в числителе: 
.
Решите уравнение
Теперь решим уравнение 
, в числителе которого отличное от нуля число.
Решите уравнение
Осталось рассмотреть решение уравнения «дробь равна нулю» в случае, когда в числителе находится выражение с переменной, а не число. В этом случае, согласно алгоритму, нужно приравнять к нулю числитель, решить полученное уравнение и отсеять посторонние корни.
Решите уравнение 
Алгебра 8 Мордкович (упр. 1.1 — 1.41)
Алгебра 8 класс. Часть 2 (Задачник) УМК Мордкович ( 2018-2020 ). Глава I Алгебраические дроби. § 1. Основные понятия. ОТВЕТЫ на упражнения 1.1 — 1.41. Нажмите на спойлер, чтобы посмотреть ответ на задание.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ.
Алгебра 8 Мордкович (упр. 1.1 — 1.41)
§ 1. Основные понятия
Является ли алгебраической дробью выражение:
№ 1.2. а) (7a 2 + 4)/14; б) (2f 2 + 6f + 15)/2f – 5f; в) 3t – p 2 /t 2 ; г) (6nm + 3m 2 n 2 )/(7n – 12m).
Найдите значение алгебраической дроби:
№ 1.3. а) (x – 2)/x при x = 3; б) (t – 7) 2 /2s при t = 4, s = –1; в) (y + 6)/(y – 2) при y = 4; г) (x – 5)/(2y + 3) 2 при x = 2, y = –2.
№ 1.4. а) (p + 8) 2 /(p 2 + 4) при p = –2; б) …
Установите, при каких значениях переменной не имеет смысла алгебраическая дробь:
№ 1.5. а) (а – 5)/(а + 5); б) 5с/(4 + 10с); в) …
№ 1.6. a) 9х 2 /(x(x + 2)); б) …
№ 1.7. a) (3а 2 + 5) / ((а + 2)(а + 3)); б) …
№ 1.8. Найдите допустимые значения переменной для заданной алгебраической дроби: 
№ 1.9. Придумайте примеры алгебраических дробей, которые имели бы смысл при: а) х ≠ 3; б) у ≠ 0, у ≠ 12; в) z ≠ –4, z ≠ –7, z ≠ 0; г) любом значении х.
Найдите значения переменной, при которых алгебраическая дробь равна нулю (если такие значения существуют):
№ 1.10. 
№ 1.11. 
№ 1.12. Зная, что a – 2b = 3, найдите значение выражения: а) 2b – а; б) 2а – 4b; в) (4b – 2a)/3; г) 6/(2a – 4b). Составьте математическую модель ситуации, описанной в условии задачи:
№ 1.13. Туристы прошли 6 км по лесной тропе, а затем 10 км по шоссе, увеличив при этом свою скорость на 1 км/ч. На весь путь они затратили 3,5 ч.
№ 1.14. Прогулочный катер двигался по реке, скорость течения которой 2 км/ч. По течению реки он проплыл 18 км, а против течения 14 км, затратив на весь путь 1 ч 20 мин.
№ 1.15. Из пункта А в пункт В, находящийся на расстоянии 120 км от пункта А, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого, поэтому он приехал в пункт В на 1 ч раньше.
№ 1.16. Из города в посёлок, находящийся на расстоянии 40 км от города, выехал грузовик, а через 10 мин вслед за ним отправился легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости грузовика. В посёлок они прибыли одновременно.
№ 1.17. С двух турбаз одновременно вышли две группы туристов, которые должны были встретиться на берегу реки. До этого места первой группе нужно идти 12 км, а второй – 10 км. Известно, что скорость первой группы была на 1 км/ч меньше скорости второй и что она прибыла на берег реки на 1 ч позже второй группы.
Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:
№ 1.18. Моторная лодка, собственная скорость которой равна 30 км/ч, прошла по течению реки расстояние 48 км и против течения 42 км. Какова скорость течения реки, если известно, что на путь по течению лодка затратила столько же времени, сколько на путь против течения?
№ 1.19. Автобус проходит расстояние 160 км за время, которое автомобиль тратит на прохождение 280 км. Найдите скорость автобуса, если известно, что она на 30 км/ч меньше скорости автомобиля.
Алгебра 8 класс Мерзляк Упражнения 1-26
Алгебра 8 класс УМК Мерзляк. Упражнения №№ 1 — 26 из учебника с ответами и решениями. Глава 1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби. Алгебра 8 Мерзляк Упражнения 1-26 + ОТВЕТЫ.
Нажмите на спойлер, чтобы посмотреть ответ на задание.
Алгебра 8 класс Мерзляк
§ 1. Упражнения №№ 1 — 26:
Задание № 2. Чему равно значение дроби (c 2 – 4c)/(2c + 1), если: 1) с = –3; 2) с = 0?
Задание № 3. Найдите значение выражения (2m – n)/(3m + 2n), если: 1) m = –1, n = 1; 2) m = 4, n = –5.
Задание № 4. Чему равно значение выражения: 1) (a 2 – 1)/(a – 5) при а = –4; 2) (х + 3)/у – у/(х + 2) при х = –5, у = 6?
Задание № 5. Найдите допустимые значения переменной, входящей в выражение: 
Задание № 6. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: 
Задание № 7. Запишите рациональную дробь, которая содержит переменную х и имеет смысл при всех значениях х, кроме: 1) х = 7; 2) х = –1; 3) х = 0 и х = 4.
Задание № 8. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную у, допустимыми значениями которой являются:
1) все числа, кроме 5; 3) все числа, кроме 3, –3 и 6;
2) все числа, кроме –2 и 0; 4) все числа.
Задание № 9. Автомобиль проехал по шоссе а км со скоростью 75 км/ч и по грунтовой дороге b км со скоростью 40 км/ч. За какое время автомобиль проехал весь путь? Составьте выражение и найдите его значение при а = 150, b = 20.
Задание № 10. Ученик купил тетради по 8 р., заплатив за них m р., и по 14 р., заплатив за них n р. Сколько тетрадей купил ученик? Составьте выражение и найдите его значение при m = 24, n = 56.
Задание № 11. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной х значение дроби: 1) 1/x 2 положительное; 2) (x 2 + 1)/(6x – 9 – x 2 ) отрицательное.
